北航矩阵论学习笔记
北京航空航天大学矩阵理论学习笔记，总结版，学霸总结，可以放心下载使用北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系月录§0补充公式§1 Jordan(约当)标准形(简介)§2线性变换与矩阵.24§3欧式空间与QR分解.48§4常用矩阵分解●鲁D●●·,,,,,74§5范数与级数.81§6广义逆A..97§7直积拉直及应用105矩阵理论A笔记北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系§0补充公式令A=(a)mxn∈C",风x)=4o+a1x0定义f(4)=a0+a1A+…+amAm,其中I=l若g(x)=bo+b1x+…+bkx,(x)g(x)=g(x)(x),则f(4)“g(A)=g(A)f(A)分块公式A10令A,A1,A2为方阵00 A(2)f(A),fx)为多项式令A=,A1,4为方阵AO(2)f(4)相似关系:A∽B,(PAP=B)则:(1)(P1AP)=P!AP,(k=0,1,2,(2)f(PAP)=PfA)P,f(x)为多项式许尔公式( schur):每个复方阼,A-(a)nxm都相似丁上三角形。共113页矩阵理论A笔记第1页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系即:P-1AP=其中41,,的次序可以任意指定Pf:用归纳法n=1时成立可以设为(n=1阶方阵成立对于n阶方阵A=(an)2×n设特征值为A,…,n取为对应的特征向量,记为a1≠0,A1=1ax1把a1扩展为可逆方阵Q=(a1,02,xn)22e又:g(a,a,…,.)=(Qa,Qba2,,Qan)其中Qe1,aQ0Q4=QA(a1a2,…an)2-I(Aa,,AAQ=(Qa,、+)…,(*)其中A1为(n-1所阶0人:0 A为由假设,对于A1必有(n-1)阶P,可推出PAPEg知n阶方阵A,适合A=0,则A+|=1共113页矩阵理论A笔记第2页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系Pf:A=0→任意特征值A=0→>=0即全体特征值为00,,00由需要P1AP=→PAP+7=1pAP+PP|=P(4+1)P=14+1→A+1=-1注(1)若AB(相似),则AB有相同特征值A,可引入记号:谱集(4)={2,2,…,λ}(全体特征值,含重复)A∽B→o()=o(B)(2)A∽B→1-A=1-B-(2-4元一2)…(-n),特征多项式PAP=B=A-A=p(1-A)P=A-B引理:若A0A2,则M-A|-|M1-4|-1-A1|2-A2→ar(4)=o(A)∪a(42k+1,Ak-2,…n1f(x2)设B,f(x)为多项式,则f(B)=o f(,)引理:若n阶方阵A的谱集(4)=1,42,…},则)的全体特社值为)2,…,),x)为多项式Pf:由许尔定理,A∽B→f(4)∽f(B)f(x)的全体特征值为(A1)(42),,()},fx)为多项式例如:4为A的特征值→x为4的特征值。(x)=x)共113页矩阵理论A笔记第3页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系引理:令B,f(x)=x-B|=(x-41)(x-12)….(x-n)则fB)=(B-1D(B-21)…(B-A1D=0Pf:当n=2时,B=0x2f(x)=(x-1)(x-2)000→f(B)-(B-41)(B-21)(2-元)0(00∴得证★ Cayley公式:设n阶方阵A的特征多项式为f(x)=|x-A|=a+a1x+…,+x则f4)=anl+a14+…,+4=0Pf:由许尔PAP=B=→P(4)P=fp3P)=f(B)=0(引理)定义若多项式x)使(4)=0,则称(x)为A的个零化式结论方阵A的特征多项式)=1x1-4为A的一个零化式g特征多项式fx)=x2可知:f(A)=A2+1=+I=00-1Hx)=|xI-A|=(x-)(x+i,(i=√-1,t2=-1)f(A)=(A-i)(4+i1=0也可取P=则PPAP=,对角形共113页矩阵理论A笔记第4页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系g:知A则A"=0Onxn由 Cayley特征多项式:f(x)=x"→f(4)=4"=0Ex 1. A=求P使得PP为对角阵,并验证 Cayley定理2.A=cd/,求fx)=x1-4验证f4)-0补充知识( schur公式、 Cayley公式)应用由A"=-(a0I+a1A+1A·AanA+a142+…+a.,A把①代入②→Am1=(-)+(+)4+…+(+)41可知:任何和(m≥n)都可写成,4,,A的线性组合任何多项式g(A),可写成lA,…,4的组合。Fg:若A|≠0,fx)=xI-A|=a0+a1x+…+x",ao=|-A|≠则A可用A的多项式表示∵a1A+a242+…+an21A-+A"--a072A(a1+a24+…+an-142+A)Aa1+…+an1A"2+A-1零化式定义:若g(x)=b+b1x+…+bnx,使得g(4)=bn+b14+…+bn4m=0,称g(x)为方阵A的零化式注:方阵A的零化式有无穷多个∴取特征多项式x)则4)=0任取式M(x),f(A(4)=0→f(x)(x)也是零化式极小式定义:在方阵A的零化式集合中,去次数最小的且首项系数为1的零化式m(x),称它为A的极小式共113页矩阵理论A笔记第5页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系注:极小式唯一性质:①极小式m(x)必为特征多项式fx)=|xI-A的因式。②特征多项式fx)=|x1-A的每个单因子(x-4)也是极小式的因子)f(x)=|x1-4=(x-x)(x-2)则极小式m(x)=(x-x)(x-2)y…(x-,),且1≤l1≤m1,1≤l2≤m2,…,1≤l≤n,41,A2…,n互不相同210EgA=020,B=020,求极小式mA(),m()解:(1)|xI-A|=(x-2)(x-1)极小式为:(x-2)(x-1)或(x-2)(x-1)计算:(4-2/)4-1)=000010k≠000000∴极小式为m4(x)=(x-2)2(x-1)(2)|-B|-=(x-2)2(x-1)00000计算:(B-2)B-1)=000010=000-1八000∴极小式为m(x)=(x-2)(x-1)Eg求下列极小式m(x)4604-60(1)A=-3-50,(2)B=2-303-6100210(3)C,(4)D=000010002000解:(1)特征多项式|x7-A|-(x-1)(x+2)极小式为:(x-1)(x+2)或(x-1)(x+2)共113页矩阵理论A笔记第6页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系验证:(4-D(A+2D=0∴极小式为m(x)-(x-1)(x+2)(3)解法如下引理:A1,A2的极小式为m1(x),m2(x)A10的极小式m(x)等丁m1(x),m2(x)的最小公倍式0A2(此引力可推广到A1,42,43)0100极小式为(x-1)2,0010极小式为(x-1)0取最小公倍式(x-1)2为C的极小式。460(5)F-/40,A1=020|,A00 A0123-6101O引理;设D=,则D的极小式m(x)O验证:先证D的性质(右推公式)设A-(an)xn=(a1,2,…,n)则有AD=(0,01,a2,,.m1)AD2=(0,0,∞1,,x12)AD=(0,….0.,a1,,axn)单位向量技巧:∵AI=A(en,e2…,en)=(el,leAen)=A=(a1, a2,. a,)∴Ae1=01,Ae2=(2,.,A→AD=A(0,e1,e2,…,en-1)=(0,a1,a2…,an-)同理AD2=(AD)D=(0,.01,.12)可知:D-1-(D)Dy2-(0.,0,,e1)≠0D"=(D)D1=0,而特征多项式(x)=|x1-D|=x,极小式为某个x共113页矩阵理论A笔记第7页
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Web前端开发经典面试题（附参考答案）
Web前端开发工程师经典面试题（附参考答案）CSS3支持下列哪一个标签?(A)A box-shadowB borderC backgroundD. display>把鼠标移到按钮并点击时,会产生一串什么样的事件?(D)A. active hove focusB foucs hove activeC. hove active foucusD hover focus active>以下位于间的代码片段是做什么用的(B)1 A.使得页面编码合乎要求B.表示支持响应式设计C.支持正常的绘制和缩放D.表示针对滚屏进行适当的适配下面关于、FF下面CSS的解释区别描述正确的有?(C、D)八. FireFox的dⅳ的内嵌di可以把父级的高度撑大,而|6.0不可以,要自己设置高度。B.当设置为三列布局时, FireFox0的 float宽度不能达到100%,而l6.可以。当设置为两列布局时,两种浏览器都可以。C.火狐浏览器中,非 float的di前面有同一父级的foat的dV,此di若有背景图,要使用 clear:both,才能显示背景图,而60中不用使用 clear:bothD.在[text- decoration: underline]的属性下,6.0显示的下划线会比 FireFox低一点。在 FireFox中,部分笔画会在下划线的下面1个象素左右。极客学院页码:3/21jikexueyuan. com在使用tabe表现数据时,有时候表现出来的会比自己实际设置的宽度要宽,为此需要设置下面哪些属性值?(A、D)A cellpadding=0B padding: OC. margin: OD. cellspacing=”0在 bootstrap中,关于导航条,下列说法正确的是?(A、B、C、D)A.应该将被包裹的元素放到na∨bar-co|apse类中B.表单应该放置于 nayar-form内C.可以使用 navbar-ef和 navan-ght来对齐导航条D.可以使用 navbar-fixed-top和 navbar- fixed-boom来将导航条固定到顶部或底部嵌入在HTML文档中的图像格式可以是?(A、C、D)A * gif米tfC. bmpD. jpg下列js可以让一个 input的背景颜色变成红色的是?(AA inputElement style backgroundColor =redB. inputelement backgroundColor = redC. inputElement style backgroundColor=#oooOD. inputElement backgroundColor=#oooo极客学院页码:4/21iikexueyuan. com元素的at和tte有什么异同,选出正确的说法?(B)A.不同的浏览器,表现一样B.at和tite同时设置的时候,at作为图片的替代文字出现,tite是图片的解释文字C.a和tite同时设置的时候,tite作为图片的替代文字出现,at是图片的解释文字D.以上说法都不正确在不涉及样式情况下页面元素的优先显示与结构摆放顺序无关。请判断这句话的正确与否。(B)A.对B.错下列哪个操作是W3c标准定义的阻止事件向父容器传递:(C)A epreventDefault(B. e. cancelBubble=trueC. e. stopPropagationoD e.stoplmmediatePropagationo对于 border- radius标签,说法镨误的是(B)A.表示圆角边框B.|E8支持良好C.|E9支持良好D. firefox支持良好≯下述有关css属性 position的属性值的描述,说法错误的是?(B)A. static:没有定位,元素出现在正常的流中B. fixed:生成绝对定位的元素,相对于父元素进行定位C. relative:生成相对定位的元素,相对于元素本身正常位置进行定位。D. absolute:生成绝对定位的元素,相对于 static定位以外的第一个祖先元素进行定位。极客学院页码:5/21iikexueyuan. com下面有关 html Doctype的描述,说法错误的是?(D)八.它的责任就是告诉浏览器文档使用哪种htm或者xhtm规范B.不同文档模式主要影响CSS内容的呈现,尤其是浏览器对盒模型的解析C.不同浏览器在混杂模式下的行为差异非常大,如果不使用某些hack技术,跨浏览器的行为根本就没有一致性可言。D.如果在文档开始处没有发现文档类型声明,则所有浏览器都会默认开启严格模式ν Doctaρe?严格模式与混杂模式-如何触发这两种模式,区分它们有何意义?用于声明文档使用那种规范(什HTML/ XHTML)一般为严格过度基于框架的htm文档,加入ⅩM声明可触发,解析方式更改为5.5拥有|5.5的bug前端页面有哪三层构成,分别是什么?作用是什么?结构层HTML表示层CSS行为层js对WEB标准以及W3C的理解与认识?标签闭合、标签小写、不乱嵌套、提高搜索机器人搜索几率、使用外链cs和js脚本、结构行为表现的分离、文件下载与页面速度更快、内容能被更多的用户所访问、内容能被更广泛的设备所访问、更少的代码和组件,容易维护、改版方便,不需要变动页面内容、提供打印版本而不需要复制内容、提高网站易用性。XHTML和HTML有什么区别?HTML是一种基本的WEB网页设计语言, XHTML是一个基于XML的置标语言最主要的不同ⅩHTML元素必须被正确地嵌套。XHTML元素必须被关闭。标签名必须用小写字母。ⅩHTML文档必须拥有根元素。极客学院页码:6/21iikexueyuan. comCSS的基本语句构成是?选择器{属性1:值1:属性2值2;…]行內元素有哪些?块级元素有哪些?CSS的盒模型?块级元素: div p hI h2h3h4 form ul行内元素: a b br i span input selectCss盒模型内容, border, margIn, paddingCSS引入的方式有哪些?lnk和@ mport的区别是?内联内嵌外链导入区别:同时加载前者无兼容性,后者CSS2.1以下浏览器不支持Link支持使用 javascrⅰpt改变样式,后者不可丶CSS选择符有哪些?哪些属性可以继承?优先级算法如何计算?内联和 lmportant哪个优先级高?标签选择符类选择符j选择符继承不如指定丨d>cass>标签选择后者优先级高你做的页面在哪些流览器测试过?这些浏览器的内核分别是什么?e(le内核)火狐( Gecko)谷歌( webkit) opear( Prestoimg标签上tte与at属性的区别是什么?A当图片不显示是用文字代表。Tite为该属性提供信息极客学院页码:7/21iikexueyuan. com描述 css reset的作用和用途。Reset重置浏览器的cSs默认属性,浏览器品种不同,样式不同,然后重置让他们统-。写出几种E6BUG的解决方法1.双边距B∪ G float引起的使用 display2.3像素问题使用foat引起的使用 dislpay: inline-3pⅩ3.超链接 hover点击后失效使用正确的书写顺序 link visited hover active4. le z-inde问题给父级添加 position relative5.Png透明使用js代码改6.Min- height最小高度! mportant解决7. select在ie6下遮盖使用 iframe嵌套8.为什么没有办法定义1px左右的宽度容器(E6默认的行高造成的,使用over: hidden, zoom: 0.08 line-height: px)9.ie6不支持 mportant解释 CSs sprites,如何使用。CsS精灵把一堆小的图片整合到一张大的图片上,减轻服务器对图片的请求数量。≯浏览器标准模式和怪异模式之间的区别是什么?盒子模型渲染模式的不同使用 window top document compatMode可显示为什么模式什么是语义化的HTML?直观的认识标签对于搜索引擎的抓取有好处什么是语义化的HTML?直观的认识标签对于搜索引擎的抓取有好处极客学院页码:8/21iikexueyuan. com你如何对网站的文件和资源进行优化?有哪些解决方案?文件合并文件最小化/文件压缩使用CDN托管缓存的使用清除浮动的几种方式,各自的优缺点使用空标签清除浮动 clear:both(理论上能清楚任何标签,增加无意乂的标签)2.使用 overflow;auto(空标签元素清除浮动而不得不增加无意代码的弊端,使用zoom:1用于兼容|)3.是用 afert伪元素清除浮动(用于非浏览器)javascript的 typeof返回哪些数据类型Object number function boolean underfind例举3种强制类型转换和2种隐式类型转换?强制( parseInt, parseFloat, number)隐式(==-===)数组方法pop()push0 unshift0shftPush0尾部添加pop0尾部删除Unshift0头部添加 shift头部删除E和标准下有哪些兼容性的写法Var ev= ev l window eventdocument documentElement. clientWidth document body. clientWidthVar target ev.srcElementllevtarget极客学院页码:9/21iikexueyuan. com旧和DOM事件流的区别1.执行顺序不一样2.参数不一样3.事件加不加on4.this指向问题spit0join0)的区别前者是切割成数组的形式,后者是将数组转换成字符串ajax请求的时候get和post方式的区别一个在ur后面一个放在虚拟载体里面有大小限制安全问题应用不同一个是论坛等只需要请求的,一个是类似修改密码的ca和appy的区别Object. call (this, obj l, obj2, obj3)Object. apply (this, argumentsajax请求时,如何解释json数据使用 eval parse鉴于安全性考虑使用 parse更靠谱事件委托是什么让利用事件冒泡的原理,让自己的所触发的事件,让他的父元素代替执行!闭包是什么,有什么特性,对页面有什么影响?闭包就是能够读取其他函数內部变量的函数。极客学院页码:10/21jikexueyuan.com
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