利用Hilbert变换提取信号瞬时特征的算法实现
研究了在工程中如何通过算法来实现利用 Hilbert 变换提取信号的瞬时特征。深入地分析了如何利用数值微分法提高提取瞬时频率特征的精度。最后,给出了一种可行的算法,并通过实验验证了这种方法可以在工程中有效地提取信号的瞬时频率特征。84微机发展第13卷①H(x)=y;H(x)=y;(i=0,1,…n)(j=0,1(11)②在每个小区间/x1,x1+17i=0,1,…,n-1)上由相关定理知:当划分的小区间的长度趋于零时H(x)是三次多项式。s(x)及其一至三阶导数分别一致收敛到f(x)及其一至可以写出分段三次 Hermite插值函数的分段表达式:三阶导数。所以用三次样条插值函数去近似表达用离散值(x)=(1+2x-x过+)2v;+表示的原函数,具有较高的可靠性。3)两种插值的比较挨尔米特 Hermite插值较三次样I-i,1+2条插值具有较好的稳定性与收敛性,但它只能休让各段曲线在连接点上的连续性,而不能保证整条曲线在这些点上y+1Ditl的光滑性。而有时不仅要求曲线连续,而且要求曲线的曲X/(i=0,18)率也连续即要求分段插值函数具有连续的一阶导数,埃H(x)的导数为尔米特 Hermite插值此时就不能满足上述要求6次样条插值较埃尔米特 Hermite插值具有较好的H(x光滑程度,用三次样条插值函数求数值导数比用埃尔米特+2(x-x2(xHermite插值可靠性大,但计算比较复杂,二者的区别见图h2yV+17, h(i-0,12)三次样条插值。已知函数y=f(x)在区间/a,b上的n+1个节点上的值y=f(x;)(i=0,1,…m),求插值函数s(x),使(i=0,1图4 Hermite插值与三次样条插值的比较图2在每个小区间x,x+1(=0.1.…n-1)上利用埃尔米特 Hermite插值得到的2FSK信号的瞬时s(x是三次多项式,记为s(x频率见图5,利用二次样条插值得到的该信号的瞬时频率③3(x)在la,b/上二阶连续可徵。见图6。数s(x)称为f(x)的三次样条插值函数可以利用节点处的二阶导数值为参数,也可以利用节点处的导数值为参数求三次样条插值涵数的表达式。若利用节点处的一阶导数值为参数,求得的三次样条插值函数的表达式为(x)=M-1x-x-)36 h6 hMihi5 DEMeN5a亩pai66hx∈[x;,x+17,b-x+1-x,S"(x)=M图5由 Hermite插值提取图6由三次样条插值提取(j=0,1的2FSK信号的瞬时频率的2FSK信号的瞬时频率对s(x)进行求导,利用S(x)在节点处一阶导数连从图5、图6可以看出利用三次样条插值得到的瞬时续的性质结合边界条件求解出参数M,把求得的参数代频率可以准确反映出信号具有的的摒时频率特征而利用入公式(10),即得三次样条插值函数的s(x)分段表示式。埃尔米特 Hermite插值得到的瞬时频率与信号具有的瞬s;(x)的导数为时频率特征不符。这是因为利用数值微分法求瞬时频率插值以后喫进行求导。三次样条插值函数具有连续的二阶M2 hiM; 2 hj导数,因而具有较好的光滑程度,符合求导条件,所以可以J+1-h(M2+1-M/)准确求出信号的瞬时频率;而埃尔米特 Hernite插值.不够光滑,虽能保证插值多项式收敛于原函数,但不能保证插x Elx,x;+1 h,=xi+I-x, S(xj )=M;值多顷式的导数收敛于原函数的导数,所以求得的值与信o1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net第6期刘慧婷等:利用 Hilbert变提取信号瞵时特征的算法实现号实际的瞬时频率值不符。实验结果和理论分析结果是(1) Hilbert变换只能近似应用于窄带信号,即形如纹的(t)=a(1)cosu+6(1)),其中>>B(B为信号带2.3.3结论宽)的信号。但实际应用中,存在许多非窄带信号, Hilbcrt利用数值微分法求瞬时频率ω(t)的步骤可以归纳变换对这些信号无能为力为:首先通过三次样条插值得到分段多项式p(1),(2)对于任意给定时刻,通过 Hilbert变换运算后的结pp(抄);然后分别对分段多项式p(t),Pp()关于变量t果只能存在一个频率值,即只能处理任何时刻为单一频率进行求导,得到pd(,ppd(t);最后求出每一时刻t所对的信号。这显然不合理,因为在实东中同一信号会含有多应的导数值,即求得t(t,u(t)。再把求得的值代入公种频率成分式(6)就完成了提取瞬时频率ω(1)的过程。求解结果见(3)对信号进行 Hilbert变换时,信号的两端会出现严图7重的端点效应。提取某些信号瞬时特征所得的瞬时频率在局部出现了负数,端点效应是造成负频率的一个原因而端点效应可以通过利用特征波对原有数据序列进行延拓的方法来解决,具体解决办法将在今后讨论。尽管目前出现了EMD担论4,其目的是将不满足Hibt变换的信号进行分解得到若干个IMF( intrinsic mode function),然后进行 Hilbert运算,达到提取信号瞬时特征的目的。该理论开辟了信号处理的新空间。但它还不够成熟还需喫进一步的完善和研究图7利用数值微分法提取信号的瞬时频率特征参考文献从图7可以看出,以三次烊条指值进行的数值微分可[]黄长蓉. Hilbert变换及其应用[J].成都气象学院学报以准确岀提取岀信号的瞬时频率特征。199,14(3):273-276.[2]杨小牛,楼A义,徐建良.软件无线电原理与应用[M].北3结束语京:电子工业出版社,2001在工程中, Hilbert变换使得我们对短信号和复杂信号[3]丁丽妤.数值计算方法[M].北京:北京理工大学出版社,的摒时特征的提取成为可能特别是对瞬时频率特征提1997取,在工程中具有十公重要的意义。文中讨论的利用三次[4] Huang N e. The empirical mode decomposition and the hilbert样条插值进行数值徵分以提取瞬时特征的方法是可行的,spectrum for nonlinear and nor stationary time series anal ysis但还存在着如下问题。[].Proc.R.soc.Lond.A,1998,454:903-995(上接第81页)218994。例22(x)=(1-2siny=223101075一般的(A算法计算了120代,求到的最大值为454176.219。154370083改进的α算法计算了34代,求到的最大值为1048575.875。改进后的αA算法收敛速度(指迭代次数)比一般GA算法几乎快了一个数量级,精度也提高了不少,特别是例2的最大值提高一倍多,速度提高这么快是未曾料到的y=74958参考文献+4X Axl Thla[1]陈国良.遗传算法及其应用[M]·北京:人民邮电出版社,图2函数2的图像1996一般GA算法计算了20代,求到的最大值为[2]袁亚湘,孙文瑜.最优化理沦与方法[M]北京:科学出版社,19991.218983[3]张铃,张钹·遗传算法杋理的硏究[J]·软件学报,改进(A算法计算了5代,求到的最大值为2000,11(7):945952o1994-2010ChinaacAdemicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net
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刘宝碇--随机规划与模糊规划（1998）
随机规划与模糊规划全本，是一本很好的参考用书序言在现实世界上,人们制定决策时经常会磁到两类不确定性现象:一是随机现象,一类是模糊现象。揹述、刻匦随机现象的量称为随机变量,而描述、刻画模糊现象的量称为模糊集。为了方便,我们不妨把二者分别称为随机参数和模糊参数。含有随机和模糊参数的数学规划分别称为随机规划和模糊规划。既然随机性和模糊性都是用来处理不确定性的,我们将随机规划和模糊规划统称为不确定规划。本书将为随机规划和模糊规划提供统一的原理,并为一般不确定环境下的优化理论打下基础在很多实际问题中,如管理、工程、经济、工业以及生态等领域,系统是一个广泛使用的概念,而一个复杂的决策系统通常具有多维性、多样性、多功能性和多准则性,并带有随机或模糊参数。对于随机规划间题中所出现的随机变量,出于不同的管理目的和技术要求,采用的方法自然也不同。第一类处理随机规划中随机变量的方法是所谓的期望值模型,即一种在期望值约束下使目标函数的概率期望达到最优的模型.第二类方法是 Charnes和 Cooper提出的机会约束规划,主要针对约束条件中含有随机变量,目必须在观测到随机变量的实现之前作出决策的情况。考虑到所作决策在不利情况发生时可能不满足约束条件,而采用一种原则:即允许所作决策在一定程度上不满足约束条件,但该决策应使约束条件成立的概率不小于某一置信术平α。第三类隨杋规划是相关机会规划,是使事件的机会函数在不确定环境下达到最优的方法,在确定性规划以及期望值模型和机会约束规划中随机规划与模糊规攴当对实际问题建模以后,可行集本质上是确定的,这就可能导致所给出的最优解在实际中无法执,而相关机会规划并不假定可行集是确定的。实际上相关机会规划的可行集被描述为所谓的不确定环境。虽然相关机会规划也给出一个确定的解,但这个解只是要求在安际问题中尽可能地执行。显然,相关机会规划的这特点与确定性规划、期苤值棋型和机会约束规划是截然不同的沿用随机环境中枕会约東规划的思想,在模榈环境中,假定模糊约東成立的可能性不小于置信水平α,这样就可以建立模糊机会约束规划、机会约束多目标规划和机会约束目标规划.类似地,沿用随机环境下相关机会规划的思想,亦有模糊相关机会规划、相关机会多目标规划和相关机会目标规划理论随着计算机的飞速发展和革新算法的不断涌现,许多复杂的优化问题已可以通过计算机求解。虽然目前计算机的能力还只能处理小规模的不确定规划模型,但是,我们坚信计算机的能力将会大幅度提高。这就为求解更加复杂的优化问题提供了一个契机它不仅表现在已有的复杂模型可以通过计算机求解,而且表现在我们可以提出更丰富的建模恿想。基于这一事实,本书采用全新的观点处理随机娜划和模糊规划,并且允许不确定规划中的目标函数和约束函数是非线性的,随机参数的密度函数或模糊参数的隶属函数可以有更灬般的形式,模型的结构可以更加复杂等等夲书为求解传统方法所不能解决的随机规划和模糊规划模型,设计了一系列基于随杌模拟或模糊模拟的遗传算法、虽然遗传算法有耗时多、速度慢等缺点,但对传统方法无法处理的问题,遗传算法是一种非常有效的方法,而且随着计算机速度的提高,实际间题将可以在合理的计算时间内得到解决本书共分12章。第1章主要介绍数学规划的基本概念,如线性规划、非线性规划、多目标规划、目标规划以及整数规划,同时也勾画出了随机规划私模糊规划的理论框架.第2章为求解优序言化问题,如单目标规划、多目标规划和目标规划,提供了一个遗传算法,并通过一些数值例子解释了遗传算法的有效性。第3章列举了生成随杌数的方法,并介绍模糊集合的一些基础理论,以及随机模拟和模粉模拟的技术。第4章给出了期望值模型的一些基本性质。第5章讨论了带有随机参数的机会约束规划。第召章给出一些机会约束规划模型的应用。第7章讨论了随机环境下的相关机会规划模型。第8章通过相关机会规划模型对随机决策系统进行了建模。第9章把随机机会约束规划推广到模糊机会约東规划。而第10章把随机相关机会规划推广到模糊相关机会约束规划.传统的数学规划模型提供的是使一些目标函数达到最优的清晰决策,然而,对实际问题,有讨应该提供的是模糊决策而不是清晰决策,所以第11章建立了带有模糊决策的模糊规划的理论构架。在第9章和第11章所讨论的模糊系统中的机会约束规划模型夲质上是一种 Maximax模型(乐观模型),即极大化可能达到的最大收益.与 Maximax模型的思想不同,第12章介绍了Mamx机会约束规划模型,其思想是极大化可能达到的最小收益本书可作为高等院校有关专业的高年级大学生和研充生的教材,也可作为运筹学、管理科学、计算机科学、系统科学、信息科学与工程等方面的学者和技术人员的参考书目录序第1章数学规划筒介11线性规划1.2非线性规划1.3多目标规划614目标规划81.5整数规划16不确定规划12第2章遮传算法优化间题22表示结构1823处理约束条件824初始化过程2评价函数202选择过程2227交叉操作2328变异操作429遗传算法程序242I0遍传算法与上升法25211数值例子26随机规划与模糊规划第3章随机棋拟和棋糊棋拟a了31随机数的产生3832随机模拟4733模糊集合理论5034模糊模拟57第4章期望值樸型644.1期望值算子652期望值模型6643凸性684.4补偿模型..、7(45基于随机模我的遗传算法46注73第5章机会约束划7生51机会约束规划模型5.2确定生等价类53—些性质8354随机模拟885.5基于随机模拟的遗传算法56注94第6章机会约束规划的应用0561生产过程0562饲料混合问题6.3随机资源分配986开放存储网络0165资金预算112月录11第7章相关机会规划L1771背景;供给-分配系统177.2随机集合1217.3不确定坏璄12474事件和机会函数1257.5相关机会规划..,,]2876相关机会多目称规划,,1307.7相关机会目标规划1337.8执行墩优解3679机会函数的随机模拟1377.10基于随机模拟的遗传算法138711注143第8章随机决簟系統媓模1448.1水资源供给一分配问题14482生产过程l5283开放存储网络15484资金预算15g第9章模糊机会约束规划16491机会约束规划模型1659.2清晰等价类.1689.3模糊模拟17394基于模糊模拟的遗传算法17595资金预算1796注183第10章模糊环境下的相关机会规划18410.1相关机会规划184随机规划与糢糊规划102相关机会多目标规划18610.3相关机会目标规划18810.4杌会函教的模糊模拟19110.5基于模糊模拟的遗传算法92106注197第11章带有模糊决策的模糊规划181.1模糊决策198112机会约束规划模型20(113相关机会规划模型20214模糊模拟1.5基于模糊模拟的遗传算法21211.6数值例于21617注222第12章 Minimax机会约束规划模型223121 Marina模型223122 Minimax模型227123 Minimax与Ma2x1卫ha22912.4模糊模拟232125数值例于23生126注238参考文献240些常用的符号251索引252第1章数学规划简介数学规划是运筹学的一个重要分支,并已被广泛地应用到很多领域数学规划可以描述为在一些数学关系诸奶等式或不等式表示的约束条件下,求一个(或一组)数的极值问题的方法.常見的数学规划有线性规划、非线性规划、多目标规划、目标规划整数规划、多层规划、动态规划以及本书重点讨论的随机规划和模糊规划等等本章里,介绍一些数学规划的基本概念和处理技术,为引入殖机规划和模糊规划打下基硼1.1线性规划作为优化领域最重要的工具之一,线性规划是用来处理在线性等式及不等式组的约束条件下求线性函数的极值问题的方法线性规划的标准形式可以写为maKC11千C22+…十Cun12:+媛122+…+a1nxn=竹1a211千22+…axn=b4m121+(m232+…+ammn=bm3≥D3=1,2
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