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基于MFC OpenCV条码识别

于 2021-05-06 发布
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基于MFC机器视觉OpenCV条码识别系统,采用Zbar开源条码识别库实现条码识别。

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Class wizard用来协助添加代码到框架文件;最后,编译,则通过类库实现了应用程序特定的逻辑3。MFC实现了对应用程序概念的封装,把类、类的继承、动态约束、类的关系和相互作用等封装起来。这样封装的结果对科序员来说,是一套开发模板(或者说模式)。针对不同的应用和目的,程序员采用不同的模板。例如,SD应用程序的模板,MDI应用程序的模板,规则DIL应用程序的模板,扩展DLL应用程序的模板, OLE ACTIVEX应用程序的模板,等等。这些模板都采用了以文档-视为中心的思想,每一个模板都包含一组特定的类。典型的MD应用程序的构成将在下节具体讨论。为了支持对应用程序概念的封装,MC内部必须作大量的作。例如,为了实现消息映射机制,M℃编程框架必须要保证首先得到消息,然后按既定的方法进行处理。又如,为了实现对DLL编程的支持和多线程编程的支持,MIFC内部使用了特别的处理方法,使用模块状态、线程状态等来管理一些重要信息。虽然,这些内部处理对程序员来说是透明的,但是,懂得和理解MFC内部机制有助于写出功能灵活而强大的程序。MFC借助C艹的优势为 Windows开发开辟了一片新天地,同时也借助 Application wizzard使开发者摆脱离」那些每次都必与基本代码,借助 Class Wizard和消息映射使丌发者摆脱了定义消息处理时那种混乱和冗长的代码段。更令人兴合的是利用C++的封装功能使开发者摆脱 Windows中各种句炳的困扰,只需要面对C+中的对象,这样一来使开发更接近开发语言而远离系统。正因为MFC是建立在C++的基础上,所以我强调CC+语言基础对开发的重要性。利用C++的封装性开发者可以更容易理解和操作各种窗口对象;利用C+的派生性开发者可以减少开发自定义窗口的时间和创造出可重用的代码:利用虚拟性可以在必要时更好的控制窗口的活动。而且C++本身所具备的超越C语言的特性都可以使开发者编写出更易用,更灵活的代码在MFC中对消息的处理利用了消息映射的方法,该方法的基础是宏定义实现,通过宏定义将消息分派到不同的成员函数进行处理。因此对于开发系统具有一定的优势。总之,MFC封装了Win32API, OLE APⅠ, ODBC API等底层函数的功能,并提供更高一层的接口,简化了 Windows编程。同时,MC攴持对底层API的直接调用。MFC提供了一个 Windows应用程序开发模式,对程序的控制主要是由MFC框架完成的,而且MFC也完成了大部分的功能,预定义或实现了许多事件和消息处理,等等。框架或者由其本身处理事件,不依赖程序员的代码;或者调用程序员的代码来处理应用稈序特定的事件。MFC是C++类库,程序员就是通过使用、继承和扩展适当的类来实现特定的目的。例如,继承时,应用程序特定的事件由程序员的派生类来处理,不感兴趣的山基类处理。实现这种功能的基础是C++对继承的支持对虚拟函数的支持,以及MFC实现的消息映射机制22 SQL SERVER2000介绍SQL( Structured Query Language,结构查询语言)是个功能强大的数据库语言。SQL通常使用于数据库的遥讯。ANS(美目国家标准学会)声称,SQL是关系数据库管理系统的标准话言。SQL语句通常用于完成一些数据库的操作任务,比如在数据庠中更新数据,或者从数据库中检索薮据。使用SQL的常见关系数据库管理系统有: Oracle、 Sybase、 Microsoft SQL Server、 Access, Ingres等等吊然绝大多数的数据库系统使用SQL,但是它们同样有它们自立另外的专有扩展功能用于它们的系统。但是,标准的SQL命令,比如" Select"、" Insert"、" Update"Delete"、" Create"和"Drop"常常被用于完成绝大多数数据库的操作但是,不像其它的语言,如C、 Pascal等,SOL没有循环结构(比如 if-then-lse、do- while以及函数定义等等的功能。而且SQL只有一个数据类型的固定设置,换句话说,你不能在使用其它编程语言的时候创建你自己的数据类型。SL功能强人,但是概括起来,它可以分成以下几组◆DML( Data Manipulation Language,数据操作语言):用于检索或者修改数据◆DDL( Data Definition Language,数据定义语言):用于定义数据的结构,比如创建、修改或者删除数据库对象;◆DCI.( Data Control Language,数据控制语言):用于定义数据库用户的杈限DML组可以细分为以下的几个语句:◆ SELECT:用于检索数据。◆ INSERT:用于增加数据到数据库。◆ UPDATE:用于从数据库中修改现存的数据。◆ DELETE:用于从数据库中删除数据23ODBC介绍ODBC( Open Database Connectivity,开放数据库互连)是微软公司开放服务结构(WOSA, Windows Open Services Architecture)中有关数据库的一个组成部分,它建立了一组规范,并提供了一组对薮据庳访问的标准API(应用程序编程接口)。这些AP利用SQL来完成其大部分任务。ODBC本身也提供了对SQL语言的支持,用户可以直接将SQL语句送给ODBC。一个基于ODBC的应用程序对数据库的操作不依赖任何DBMS,不直接与DBMS打父道,所有的数据库操作由对应的DBMS的ODBC驱动程序完成。也就是说,不论是 FoxPro、Aes, MYSQL还是Oracle数据库,均可用 ODBC AP进行访问。由此可见,ODBC的最大优点是能以统一的方式处理所有的数据库。一个完整的ODBC由下列几个部件组成:应用程序( Application)ODBC管理器( Administrator),该程序位于 Windows95控制面板( Control Panel)的32位ODBC内,其主要任务是管理安装的ODBC驱动程序和管理数据源。驱动程序管理器 Driver Manager)。驱动程序管理器包含在ODBC32DLL中,对用户是透明的。其任务是管理ODBC驱动程序,是ODBC中最重要的部件数据源。数据源包含∫数据库位置和数据库类型等信息,实际上是一种数据逹接的抽象。应用程序要汸问一个数据库,首先必须用ODBC管理器注册一个数据源,管理器根据数据源提供的数据厍位置、数据厍类型及ODBC驱动程序笭信息,建立起ODBC与貝体数据库的联系.这样,只要应用程序将数据源名提供给ODBC,ODBC就能建立起与相应数据库的连接。在ODBC中, ODBC API不能直接访问数据库,必须通过驱动稈序管理器与数据库交换信息。驱动程序管理器负责将应月程序对 ODBC API的调用传递给正确的驱动程序,而驱动程序在执行完相应的操作后,将结果通过驱动程序管理器返回给应用程序。在访问ODBC数据源时需要ODBC驱动程序的支持,用 Visual++6.0安装程序可以安装SQLServer、 Access、 Paradox、 dBase、 FoxPro、 Excel、 Oracle和 Microsoft Text等驱动程序.在缺省情况下,VC6.0只会安装 SQL Server、 Access、 FoxPro和d Base的驱动程序.如果用户需要安装别的驱动程序,则需要重新运行VC6.0的安装程序并选择所需的驱动程序。ODBC使用层次的方法来管理数据厍,在数据库通信结构的每一层,对可能出现依赖数据库产品自身特性的地方,ODBC都引入一个公共接口以解决潜在的不一致性,从而很好地解决了基于数据库系统应用程序的相对独立性,这也是ODBC一绎推出就获得巨大成功的重要原因之一。24 CRecordSet类和 CRecord View类CRecordset对象代表从一个数据源选择的一组记录的集合,被称作“记录集”。CRecordset对象可以以两种形式使用:动态集和快照。动态集是与其它用户的数据更新保持同步的动态数据集。快照是数据的静态视图。每一种形式都代表打开记录集吋定的组记录,但是当滚动到动态集中的个记录时,动态集将反怏后来由其它用户或由应用程序巾其它记录集对此记录所做的改变。要使用任何一种记录集,通常需要从 CRecordset派生一个应用程序指定的记录集类。记录集从一个数据源中选择记录,然后用户就可以◆在这些记录中滚动更新记录并指定一种加锁模式。过滤记录集,以获得那些从数据源中选择出来的可利用的记录排序记录集。◆参数化该记录集以定制它的具有要直到运行时才知道的信息的选项。CRecord view对象是在控件中显小数据库记录的视这种视是一种直接连接到一个〔 Recordset对象上的格式视。此视是从一个对话框模板资源创建的,并将CRecordSet对象的字段显示在对话框模板的控件中。 CRecordview对象利用对话框数据交换(DDX)和记录字段交换(RFX)机制,使格式上的控件和记录集的
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  • 车辆动力学及控制(拉贾马尼)
    本文主要介绍了车辆动力学及控制,主要内容包括车辆侧向动力学、自动车道保持的转向控制、车辆纵向动力学、车辆纵向控制、自适应巡航控制等等。汽车先进技术译从车辆动力学及控制(美) Rajesh Rajamani著王国业江发潮等译机械工业出版社本书主要讨论了足以体现车辆动力学特征的,而且能够满足设计车辆控制系统需要的车辆动力学模型,给出了这些模型的特性,和由这些模型开发出的实际汽车控制系统的基本结构。本书涵盖了巡航控制、自适应巡航控制、制动防抱死系统、车道自动保持系统、高速公路自动行驶、横摆稳定性控制、发动机控捌、被动悬架、主动悬架和半主动悬架、轮胎模型以及轮胎路面参数识别,书中特别介绍了几种目前科研中经常采用的轮胎模型。本书可供汽车行业和大专院校里从事控制系统研究的工程师和专家们参考,也可用作汽车专业研究生的教材。Vehicle Dynamics and ControlRajesh RajamaniOriginal ISBN 9780-387-26396-9Translation from the English language edition:Vehicle Dynamics and Control by Rajesh RajamaniCopyright Rajesh Rajamani 2006Published by Springer Science Business Media, InAuthorized Simplified Chinese edition is published by cmP,All Rights Reserved本书中文简体版由 Springer出版社授权机减工业出版社独家出版发行版权所有,侵权必究。北京市版权局著作权合同登记号:01-2009-3284图书在版编目(CI)数据车辆动力学及控制/(美)拉贾马尼( Rajamani,R)著:王国业,江发潮等译北京:机械工业出版社,2010.11(汽车先进技术译丛书名原文: Vehicle Dynamics and ControlIsBN9787-11l-31283-3I.①车…Ⅱ.①拉…②王…③江…Ⅲ①汽车—动力学Ⅳ.①U461.1中国版本图书馆CI数据核字(2010)第132639号机被工业出版社(北京市百万庄大街22号邮政编码10007)策划编辑:徐巍责任编辑:刘煊版式设计:霍永明责任校对:刘怡丹封面设计:鞠杨责任印制:杨曦北京中兴印刷有限公司印刷2011年1月第1版第1次印刷169mm×239mm,19印张·369千字00g1—3000册标准书号:ISBN978-7-111-31283-3定价:5900元凡购本书,如有缺页、倒页、脱页,由本社发行鄧调换电话服务网络服务社服务中心:(010)88361066销售一部:(010)68326294门户网:htp://w.cmpbook.com销售二部:(010)88379649教材网http://www.cmpedu.com读者服务部:(010)68993821封面无防伪标均为盗版译者的话本书论述了能足以体现车辆动力学特征、满足车辆控制系统设计需要的车辆动力学模型的建立方法以及车辆动力学控制系统的设计。本书较其他同学论若具有深入、系统和实用的特点,是一本既有理论研究意义又有实际应用价值的参考书。Rajamani教授是明尼苏达大学机减工程系先进控制和微型传感器实验室主任, IEEE/ ASME学报编委。我们关注 Rajamani教授的研究是从2002年他发表的“基于GPS实时识别轮胎-路面摩擦系数”的文章开始的, Rajamani教授长期从事车辆控制技术领域的研究,发表重要论文70余篇,涉及到本书内容的主要方面。2006年我们在网上查到此书,看后觉得此书具有理论研究和实际应用价值,对我国从事车辆动力学及其控制领域的科研人员会有具体指导和帮助,于是有了翻译此书的想法。翻译和出版工作得到机械工业出版社汽车分社的大力支持,在此表示由衷感谢。本书第1章、第2章、第3章、第6章、第7章、第8章由王国业翻译,第4章、第5章、第9章、第10章由江发潮翻译;第11章、第12章、第13章第14章由侯春敏翻译,李淑艳老师审译了部分章节,樊月珍老师参与了本书的部分翻译工作。全书终稿由中国农业大学余群教授审阅,叶阳、曾蔚英、付燕荣、李元、章娟丽、刘恩托、朱妮、付晓丹、肖龙等参与了本书的部分翻译整理工作,在此表示感谢由于水平所限,本书难免有翻译不当之处,欢迎读者提出宝贵意见。译者言作为一名车辆工程专业研究生的指导教师,我经常觉得需要一本对有关汽车控制系统的研究成果及其应用进行总结,以及建立开发这些系统所需的车辆动力学模型的论著。已经出版的为数不多的几本介绍车辆动力学的论著已远远不能满足当今车辆控制系统工程师的需要。车輛控制系统工程师们需要既简单又足以体现车辆动力学特征的,最主要地还要满足设计车辆控制系统需要的车辆动力学模型。本书将试图介绍这样的模型,以及由这些模型开发出的实际汽车控制系统。本书涵盖了巡航控制、自适应巡航控制、制动防抱死系统、车道自动保持系统、高速公路自动行驶、横摆稳定性控制、发动机控制、被动悬架、主动悬架和半主动悬架、轮胎模型以及轮胎一路面参数识别。本书特别介绍了几种在文献中经常采用的轮胎模型。随着汽车在全球范围内应用日广,发展能够更好地适应公路系统,更节能、更舒适、更安全,同时对环境的破坏达到最小的交通体系就显得更加重要。为了达到这诸多方面的,甚至互相冲突的要求,现代汽车越来越倚重于综合应用传感器、调节器和反馈控制的电子控制系统。本书适合供那些在汽车行业和大专院校里从事这类控制系统研究的工程师和专家们参考,同时也适合作为车辆动力学和控制方向的研究生教材。在本书出版后如果发现有排版错误和其他错误将会在下面的网址上及时改Eohtlp://www.menet,utmulledu/wrajamani/vde.htrula如果读者发现了这些错误能够告知我们,我们将会很感激。Rajesh Rajamani译者的话前言第1章概论画画画画画画画b画面晶面量垂西酯面鲁1.1驾驶员辅助系统n■t非自聊t·虚章。售日·申量F·鲁,,·鲁费鲁日···。里自甲日····翻1.2主动稳定性控制系统……1.3平顺性……1.4用于解决交通堵塞的技术着福日画_a自面a自ma曲自at_幽由■面。■1虚自面_虚虚曲自鲁1.4.1自动化公路系统……··。如口·着。中自··由·非·“非·自非abt·士;普1.4.2“交通友好”的自适应巡航系统1.4.3窄型工勤车辆倾斜控制日章∮,面P鲁曹鲁鲁·音·曾1.5排放和燃油经济性……画··。画看·画翻福而福藤·酯番酯串■着昌■备晶鲁音看串看非。着自着即息是t自自1.5.1混合动力汽车…1.5.2燃料电池汽车咖_物鲁咖D自t曲自电P翻4567888参考文献第2章车辆侧向动力学画“面垂“垂画“由音晋音画面音“请普非音番自面音“普普香F;新鲁音曹鲁鲁鲁鲁2.1商业应用开发中的汽车侧向运动控制系统2.1.1车道偏离预警系统2.1.2车道保持系统122.1.3横摆稳定控制系统132.2车辆侧向运动的运动学模型……………………………………………142.3两轮车辆侧向动力学的模型…2.4相对旋转坐标系中点的运动222.5关于路面误差力学模型的讨论……………………………;……232.6动力学模型中的横摆角速度和侧偏角的讨论………2627从车辆坐标系到地面坐标系………………272.8路面模型中:要幽妻脂中着康曹垂萨曹萨者要p曹普鲁,中曹沿。围自·看_“翻d垂垂更吾道垂音自垂曹业函,2.9本章小结参数表参考文献32Ⅵ车辆动力学及控制第3章自动车道保持系统的转向控制·着费·新单和着群;音「+吾吾吾请·非非自音343.1状态反馈343.2动力学方程的稳态误差……………………363.3稳态转向…………………………………393.3.1稳态转向的转向角393.3.2方向角误差能否达到零值…423.3.3非零方向角误差的影响=“m“++..=4·:.:.;4:·:···罗3.4考虑不同的纵向速度433.5输出反馈3.6全反馈闭环系统………………………443.7比例控制闭环系统分析473.8带超前补偿器的回路分析……523.9带超前补偿器的仿真性能……553.10闭环系统性能分析……………………………………563.10.1随车速的性能变化…563.10.2随传感器位置的性能变化…583.1I带超前传感器测量的补偿器设计………593.12本章小结…………………………………………………………60参数表61参考文献∵…………………62第4章车辆纵向动力学4.1整车纵向动力学644.1.1空气阻力■■面654.1.2轮胎纵向力……………………………………………………………664.1.3纵向轮胎力和滑动率之间的依赖关系684.1.4滚动阻力∴………………--4694.1.5法向载荷的计算…………………………………………………714.1.6轮胎有效半径计算4.2传动系统动力学…………………734.2.1变矩器………………………………………………………744.2.2传动系的动力学模型754.2.3发动机动力学…………………74.2.4轮胎动态性能774.3本章小结………………"78參数表目录Ⅶ参考文献自要面世曾曾t世d百哥;,.79第5章车辆纵向控制815.1引言……………………………………………………815.1.1自适应巡航控制系统…815.1.2避撞系统…画福音画看新面晶825.1.3自动化公路系统5.2纵向自动控制的优点……………………835.3巡航控制系统士由…845.4巡航控制系统的上层控制器…………855.5巡航控制系统的下层控制器e:曹e4吾垂普看!串·垂事当星量■看『四■鲁875.5.1根据期望加速度计算发动机转矩…8755.2发动机控制………………鲁量吾日8956防抱死制动系统……895.6.I目的…………………曹音一t自普曹晋普推會鲁量曾·曹曾曹鲁·中·香5.6.2ABS的功能925.6.3基于减速度门限值的算法……………………………………………935.6.4其他ABS控制算法………9656.5关于ABS的近期研究出版物…975.7本章小结…………………………………………97参数表………………………………………………………97参考文献第6章自适应巡航控制…11006.1引言1016.2车辆跟随准则…………1026.3控制系统结构……………………………1036,4车队的稳定行驶1046.5固定车距与自主控制…1046.6固定时距控制策略的自主控制…曹曹看鲁费普音·中自鲁音曹鲁鲁鲁鲁鲁吾平6.6.1基于CTG车距控制策略的车队稳定行驶……1076.6.2典型的延迟值1096.7过渡控制……………………11167.1过渡控制器的必要性…………………………………………………11167.2通过R-R图设计转换控制器…1126.8下层控制器…11569本章小结………………………………………116Ⅷ蠡车辆动力学及控制参数表鲁翻…116参考文献…………………………………117第6章附录…………………………………118第7章车队的纵向控制………………1217.1自动化髙速公路系统……………………12172自动化高速公路系统中的车辆控制……………………1217.3纵向控制结构…1227.4车辆跟随准则……………………1237.4.1单个车辆的稳定行驶…1237.4.2车队的稳定行驶1247.5信号及系统范数的背景2447.5.1信号的范数………………………1247.5.2系统的范数……………………………1257.5.3利用诱导范数矸究信号放大257.6保证车队稳定行驶的设计方法………1277.7固定车距的自主控制…………………………………………………1277.8采用无线通信的固定车距控制策略7.9实验结果………b。都…………1317.10下层控制器………………………………………………………1327.11参数未知车辆的自适应控制13311.1重新定义符号…………………………1337.11.2自适应控制器………………………………………1347.12本章小结………………………………………………………………136参数表··,·翻·137参考文献…………138第7章附录…垂最车·………………139第8章电子稳定性控制………………………1418.1引言……………………141音·非·。·。。非4··非·。非非m中··,·即··量着,··音章·8.1.1稳定性控制原理1418.1.2汽车厂商开发的稳定性控制系统1428.1.3稳定性控制系统的种类…………………………………………………1428.2差动制动控制系统…s………14382.1车辆动力学模型……1438.2.2控制系统架构………………………………………………1458.2.3理想的横摆角速度中自鲁··即··中·鲁··中·更·鲁·鲁助··使曹·中兽,46
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  • 泛函分析及其在自动控制中的应用
    泛函分析及其在自动控制中的应用,韩崇昭,1991控制理论所硏究的闩越,可以概括为系统分析、系统踪合建模和优化。系统分包括系统的稳定性分析能控能观性分析、鲁棒性分析等,主要是分用以描述系统行为的算子的特生。传统的分析方法是实用的但只限于某些特定的系纯类型.例如传统的枫域分忻法只阳于讨论单输入单输出约线性定常橤统,而泛函分析所提供的分析方法,有可能村包括多输入多输出线性时变系统、分和参觐线性系统,以及某忠类型的柞线性系统进行统…的处理,从而获得更加一般的论。系统的综合包插挖湖器和补偿器的设计等,使系流得以镇定或获得某种性能,这是分析的逆河题。传统的综合屴沄礻仪费时费事丶而且解决问题的范園比较狭窄:现代的综合方法倾向干构造能用计算机灾现的某些算法迭代算法或递推算法的收敏性分析,以及闭环控制的稳定性分衔等,只有借助泛图分析所提供的工其,才有可能使问题得以解决系统建撓和系统的最优控制,一般是在某些约束条件下,对某个泛函拈标进行优化的问题,这更是泛函分析研究惹围闪的问题绕上所泛函分析已渗逶到控制理论和系统科学的各个分支。“饿夯千里日,更上一层楼”,控制斑论研究者只冇掌握泛函分析这…工具,才有可能…览当令研究潮流中“群峰竞秀,万水争流"“的局面第二章代数基础鉴于工科人学亩动控制类专业研究生#不具备系统的拙象代数的知识,而泛函分析这门课程又经带涉及抽象代数的某些基本慨念,所以首先在本章对必要的代数基础知识进行简要介绍,作为学习泛函分枥的预备知识。§2.]集合与映射2.1.1集合集合是数学上最基本門概念,难以绐出确切的定义:一般说:所谓集合就是指具有其种属性的事物全体。构成集合的每个事物称为该集合的元蓊。果合也简称集,其元素也简称元集合可用列其历有元素或江明其暑性来表示如A=i1,nz,…,n},A={a:a具有属性P}如果个集合由有限多个元构成,称之为有限集;如果由无限多个元构成,称之为元限集不含汪何元素的集合称为空集记为这,只含一个元的集合称为单点集。用r∈A表示“?是4中的元”或a属于A”;用a表示a不是A中的元"哎“a不属于有两个集合A和B:若A中的所有元到为B中的元,则称为A是B的子集或A蕴含于B哎包含A,记为A≌或BA任集A必是共自身的了集,而空集又是仕意集A的子集若集A是集R的子集:而B中至少有一个元不屑于4,则称A是程的真子集,或B真包含A,记为心二BBA。若集A是集B的了集,且B也是A的子策,闻称集A与集B相等,记为A=B2这个定义也经出用作集合相等的证明方法即任取∈A,得x∈B则推知4≌B;其次任取xB证得∈小则描知B≌A;从而证明A=B。在以后的证明中,我打经常采用某些撰用符号:“"表示“所有的",“彐"表示“存在”,“→“表示“由左面的结论推出岩面的结论”“台”表示左右两面相互推出”以柴合为元素的集合秋为集类。如字={A,B,C}其中的元A,B,C均是集合,是集类。A、B两个集合的所有元素共同构成的集合称为A和B的并集,记为AUB={2:x∈A或x∈开2。1,2桌合A1,A:;…,A的并業定义为U4=A∪AU…∪4一{x:xEA,或x∈A,“x∈A}(2.1.3)A、B两个集合的公共元素构成的集合称为A和B的交集,记为A∩B={x:x∈A且芏.B〔2.I.4集合A1,A2,A的交集定义为门A=A∩A∩“∩A={x:x∈A且x∈12“且xEA}(2.!5如果集合A与集合升没有公共元家,即A∩B=C,则称A与R不相交。属于集A而不属于集B的所有元构成的集合称为A与B的差集记为AB={xgxA旦x2.⊥,5巢合A和F的对称差记为A△B-(APU(4)2.7设U是一↑特定的集合,AS;称EA为A关于U的补集.记为A此时有AUA=UA∩A=2.1蘸2..9对于集类也可以定义并、交运算。设是一个集类其元的并和交分别为U{BB∈}={z:B∈郾,使z∈B2.1.10∩{B:B∈}{x;B∈密,使r∈乃2.1.11)例211设R表示实数集,R=RXR表示实数序对(x,y)的集合,集合A={(x,g)mx;∈R固定}表示欧氏平面R2上y=m直线上的总集;所有这些集合(直线〕构成一个集类x={A:mER在此情况下,集类m的交集为∩ FRA={(0,0)},即R的坐标原点;其并集为∪v∈RA=R2{0,y):|l|>0}即除去坐标纵轴但保留坐标原点整个R2平面。前面绐出的集合运算具有如下性质〔1)幂等律:AA=A,A∩A=4;〔)交换律:AB=BJA,A∩B-B∩A;I)结合律:A∪(BU)=(4∪B)∪C,A∩(B∩C)=(A∩B)∩C;Ⅳ)分配律:4U(B∩C)=(AUB∩(AUc),A(BUC)-(Anu(A门〔V)恒等律:A∪C=A,A∩U=手AUC=[, A=另外还有一些恒等关系式Ⅵ) de morgan律:A(B)-(AB)∩AC),A(BNC)=(AB)U:A〔〕对偶律:(UAA,(∩A=UⅧ)互补律:AAU,A∩A=8下面只证明(W)和(W)其余留给读者验证W)的证明:∈A(B)∈A,(BC)∈AB且x∈C∈AB且tAr∈AB)n(4C)同理可证第二式。()的证明;*∈(∪A)=∈U,艺点UA+2A且2年A1“且卖Az∈出且x∈A」且x∈术台∈∩4:同理可证第二式渠合A和B的笛卡尔积就是由序对构成的集∈Ab∈2.1,12儿素n和b称为序对(a,b)的分量。如果两个厅对的对应分垤相等则称其相等例如,(x,y)z(n-a,且y一b般情况下,集合的笛卡尔积不叫交换次序,即AX≠xA更一般地,A1A2…**A是一组集合其笛卡尔积定义为A,=1×Azx{「rTI:AE1,2}〔2.I.132.1.2关系由集合A到集合B的一个关系配,就匙的卡尔积A×H的一个集若R=AXB.序对(a)∈R则称n与!有关系P,记为ee,关系RAX称为二元关系,周为此时其中的元由序对钩成更灬般地,若K∈]1,则称其为多元关英。例2.1.2设A一{a,b,c}B={u,b,,d,吧其笛卡尔积为AB=(,,(,b),().(,t).(bq),bb),,(冫(,),出,(qb)(qc),(,d)}如果R表示“相等关系”,则R=Yb),(c,E)}二A×F关系R4XB的定义城是A的子集,即1oia∈A:b∈,使得2..11〕其值址是郾的子集,即ange=,∈B:n∈A使得ah15倒21.3设R={(x,y):,∈R,g-2}表示一个关系,显然它是RXR的一个子粜,即面R上一条抛物线的点集。其定义域domR=R,其值域 rangeR=1={y:y:0),即l半实轴设A是灬个集台,三A×A4是某种关系下给出几种特殊二元关系的定义I)自返关系:若aA→(a,a∈R;(I)对称关系:若(,b)∈B→(b,a)EB;Ⅲ)传递关系:a,b),b)∈R=n,)∈R;Ⅳ)反对称关系:若(,b),h2n)∈→m=b;甚于以上基本的二元关系还可以定义〔V)偏序关系;若是返、传递和反对称的关系:此时称A为出R规定的编序集合;〔)全序关系:若是偏关系,H任意a,b∈A,要么(+b)∈B,要么(b,a);W)等价关系:若F是肖返、传递和对称的关系。例2.1.4设R-(,9):x,∈R,≤匚R表示平面R上包括x-9直线在内的左上半平面,它是一个二元关系:国对()!x∈R,(x,x)∈,所以R是自返的;(2)任意(,y),(,=)∈R即有“到队而有x,即:x,∈R,所以是传的(3){意(x,y),(y,)∈R,具有y,≤x,从而z=y,新以R是反称的;综合起来即证刚R是个懶序关系(即关系“≤’,或者总按偏序关系“≤”規定的R是一个偏序集合。其实,R还是一个全序关系,因为除!R编序关系外,对仁意r∈R.要么x≤,费么ysx即要么(x,y)∈界,要么(y,x)∈P例2.15设A={a,b;,d,g,R={(),(b,)仂,b),(c,q),(+b),e,c)(c,),(d,n),,n),(,4},(,b),(e,e)}4A,它是A上的一个二元关系。因为(1)!x∈A(r,x)∈R,即E是白讴的;(2)意(x,y)(y,z)∈萨即有(x,∈F即R是传递的;〔3若(x,y)(g,x)∈R,即有xy,即是反对称的;所以k是一个偏序关系。但是,为e,∈A,(e)R且(e,c)B,所以不是灬个全序关系若R实A×A是A上的一个偏序关系,则I)A的任一子集B按关系R仍是一个偏详集合,即B(BXB》∩是B上的偏序关系若B按关系R还是一个全序集合,则称其为A的个全序子集。[)设b∈4,若对x∈A均有r助,称b为A的末位元系()设a∈A若对x∈A均有Rx,称a为A的初位元Ⅳ)若b∈A对任意t∈A且l则称b为A的一个最大元素。若m∈A对任意x∈A且→=a则称a为A的一个最小元亲例2.L.6设A={7,4,23,2,5)为一有限整数粜,定义A上的一个二元关系R_{∈A,x≤y2),(4,4),(415),〔47),(4,12),(2,12)(3,3),(3,4),(35),(3;73,12),(2,2),(2,3)、(2,2(2,5),(2,7,(2,12),(5,5),(5,7〕,(苏,2)}显然,孩关系R(即“≤”),A是…个全序集合同时是A的韧位元,也是最小元:12是A的末位兀,也是最大元例2.L.725的关系星可以用图2.1.表示,共中a,即存在有向连线由x到yA的仟一子集加D一{e1b,a}按关系B仍是个偏序集合,而且此时B还是A的一个全序子集在A中按关系R,是末位元也是量大元和c均为A献最小元但A无初位元,月为e和c不存在关系R讲而,假定R是集合A上时一个编序关系,对于B4,则有M)r∈A称为由规定的B的一个上界,当且仅当图2.1.1关系R对∈B有xR。如果a是由R规定的P的一个上界,而对于由R规定的B的任意其它上界p均有aR,则称a为B的最小上界,或上确界.记为m=Lp3()a∈A称为由R规定的的一个下界,当且仅当对yr∈B有aR。如果a是由R规定的B的一个下界,而对于由R规定的B的任意其它下界A,均有山B则称t为B的最大下界或下确界,记为=infB。例2.1.8设A={z∈R:01二R为一闭区何,而B一{x∈R:.2
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