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C# ZedGraph实时多条曲线数据更新实例

于 2020-11-27 发布
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tsinghua.edu.cn印装者:清华大学印刷厂经销:全国新华书店开本:185mm×260mm印张:21字数:522千字版次:2016年6月第1版印次:2016年6月第1次印刷印数:1~1500定价:59.00元产品编号:06269401在电子电路和系统中,噪声是个重要问题。噪声污染有用信号,并使信号包含的信息增加了不确定性。电子噪声是影响检测系统性能的主要因素之一。在通信系统中,噪声可能导致信息传输错误。即使在噪声阈值较高的数字电路和计算机系统中,严重的噪声可能造成存储位的变化和程序运行混乱噪声包括内部固有噪声和外部干扰噪声。内部固有噪声是由载流子的随机运动引起的,有些固有噪声源可以通过在制造过程中提高加工质量加以控制,但其中大多数是基础噪声,不取决于技术。而外部干扰噪声是由外部噪声源发岀,经过某种耦合渠道对电路污染的结果。这两种噪声具有不同原因,它们需要不同的处理方法,在多数书籍和文献中,这两种噪声都是分别对待的,外部干扰噪声通常是电磁兼容性(EMC)相关书籍的主题。但是,这两种噪声引起的问题是类似的,应该综合在一起考虑。在处理其中的一种噪声时,有理由必须把另一种噪声也考虑在内。例如,当处理弱信号的电路无法正常工作时,污染了有用信号的噪声是源自于该电路本身还是从外部拾取的,从用户的角度来看都是无关紧要的。在这两种情况下噪声都会掩盖信号,在最坏的情况下则不能恢复信息内容。因此,只努力抑制电路的固有噪声,但缺乏抵御干扰噪声的保护手段,电路的噪声特性就会大打折扣。另外,在设计屏蔽措施时,努力把干扰噪声降低到固有噪声幅度之下,往往没有多大意义。本书涵盖上述两种噪声,致力于分析和解释电子系统中各种噪声的来源和性质,介绍各种噪声源的机制和模型,说明不同噪声的特性和耦合方式,以及线性电路中的噪声分析方法和噪声特性测量方法,介绍各种噪声的抑制措施,给出低噪声设计的规则和方法。许多种噪声具有随机性,其描述方式和分析方法不同于确定性信号,不太容易理解,本书第1章首先介绍随机噪声的基本原理和特性,这是后续各章及延续阅读的理论基础。第2~5章致力于固有噪声,这种噪声取决于电子器件和电路设计。第2章介绍各种固有噪声源的特性和描述方法;第3章介绍各种噪声参数和噪声分析方法;第4章介绍电子系统中常见的电子器件的噪声源、噪声模型和噪声特性;第5章介绍常用的噪声性能测量方法。前言第6~8章致力于外部干扰噪声,这种噪声受设备的物理结构和电路布局的影响很大。第6章介绍各种干扰噪声源和干扰耦合途径,除电磁噪声外,还特别介绍机械原因或温度扰动引起的噪声;第7章介绍干扰噪声抑制方法,重点是屏蔽和接地;第8章介绍常见干扰噪声源的噪声产生机制和预防措施。第9章介绍低噪声电路设计的方法和技术,包括选择低噪声有源器件,确定电路组态和工作点,噪声匹配的实现等,特别分析了反馈对噪声性能的影响。本书可用作电子、通信、自动化、测试技术与仪器等专业的高年级本科生或研究生教材,也可供涉及电子噪声和电磁兼容性的工程技术人员参考。由于作者水平所限,书中难免存在缺点和错误,恳请广大读者批评指正高晋占2015年10月于清华园符号說明1.基本符号X电抗的通用符号,单位为Ω频率通用符号,单位为Hz导纳的通用符号,单位为Sfo中心频率,单位为Hz阻抗的通用符号,单位为Ω截止频率,单位为Hz角频率通用符号,单位为rad/s电流通用符号,单位为A2.线性系统符号距离或长度,单位为mA(t)幅度函数电压通用符号,单位为V)相位函数器件内部的等效电阻,单位为9G(a)幅频特性函数B系统频带宽度,单位为Hz相频特性函数B电纳的通用符号,单位为Sh(t)冲激响应函数C电容的通用符号,单位为FH(j)频率响应函数E数学期望运算子H()传递函数电导的通用符号,单位为SH(x1)离散传递函数电流的有效值,单位为A3.随机噪声符号平均直流电流,单位为A噪声电压L电感的通用符号,单位为H噪声电流互感的通用符号,单位为H噪声电压的均方值P功率的通用符号,单位为W噪声电流的均方值R电阻或等效电阻,单位为ΩE电路的输入电阻,单位为Ω噪声电压的有效值,En=√eR电路的输出电阻,单位为噪声电流的有效值,n=√R负载电阻,单位为Ω噪声电压的平方根谱密度,单位R信号源内阻,单位为Ω为V/√Hz电压的有效值,单位为V噪声电流的平方根谱密度,单位热力学温度(旧称绝对温度),单为A/√Hz位为K热噪声电压符号说明热噪声电流共射接法下集射极之间的微变电散弹噪声电压阻散弹噪声电流场效应管漏源之间的等效电阻1/f噪声电压导通电阻1/f噪声电流二极管,场效应管的漏极F噪声系数( noise factor)场效应管的栅极噪声因数( noise figure),单位为dBS场效应管的源极S信噪比二极管电流,漏极电流B等效噪声带宽共射接法下的基极电流△f窄带宽度共射接法下的集电极电流p(x)x的概率密度函数共射接法下的发射极电流x的均值共基接法下的电流放大倍数,a=x的方差△Ic/△Ix的标准差共射接法下的电流放大倍数,B=x的均方值△Ic/△IBC2(x)x的自协方差函数共射接法下的直流电流放大倍Cx(x)x的归一化自协方差函数数,B=Ic/IBCx(z)x和y的互协方差函数5.其他符号Cx(x)x和y的归一化互协方差函数电磁辐射速度,c=2.998×10m/sR2(r)x的自相关函数h普朗克( Planck)常数,h=6.62R2(x)x和y的互相关函数1034JsS(f)噪声的功率谱密度函数k玻耳兹曼( Boltzmann)常数,k=S2(f)噪声电压的功率谱密度函数1.38×1023J/K(f)噪声电流的功率谱密度函数电子电荷,q=1.602×10-°C2(f)x的功率谱密度函数波长,mS2(f)x和y的互功率谱密度函数介质的介电常数p(x)x的归一化自相关函数自由空间的介电常数,Eo=8.85×(x)x和y的归一化互相关函数10 pF/mmJ|雅可比( Jacobi)行列式对自由空间的相对介电常数,En=4.半导体器件参数符号基极介质的磁导率C集电极自由空间的磁导率,A0=4x发射极10Hm1=4x×10pH/mmfr晶体管的特征频率,即共射接法对自由空间的相对磁导率,=下电流放大倍数为1的频率,单/0位为Hz介质的电导g跨导铜的电导,=5.82×107S/m基区体电阻对铜的相对电导,01=a/0rb’e发射结的微变等效电阻CMRR共模抑制比第1章随机噪声基础1.1随机噪声概述…………1.1.1噪声定义与分类1111.1.2内部固有噪声和外部干扰噪声比较1.1.3噪声的影响1.2随机噪声的概率分析方法…3471.3随机噪声的统计特征…1.3.1均值、方差与均方值········,····,·,,··,,,,,,······,·······,·,,1.3.2相关函数与协方差函数…1.3.3功率谱密度函数151.4常见随机噪声171.4.1白噪声与有色噪声171.4.2窄带噪声………………………………………………………191.5随机噪声通过电路系统的响应…211.5.1随机噪声通过线性系统的响应……………………………211.5.2随机噪声通过非线性系统的响应24第2章电子系统中的固有噪声源……………………………………………………292.1热噪声302.1.1热噪声的起源…302.1.2热噪声的特性……………………302.2扩散噪声……………………………………352.3散弹噪声362.4量子噪声………………………………………………………………………………39Ⅵ目录2.5产生-复合噪声(G-R噪声)…………………………………………………………402.61/f噪声…422.7爆裂噪声……………………………………………………………………452.8雪崩噪声…第3章噪声参数与噪声分析503.1.功率和增益3.1.1功率的各种常用定义513.1.2资用功率和资用功率增益…3.1.3可交换功率和可交换功率增益553.2等效噪声带宽…563.3线性一端口的噪声参数……603.3.1等效噪声电阻…………………………………613.3.2等效噪声温度623.3.3其他噪声参数……633.4线性二端口的噪声模型与噪声参数653.4.1E-Ⅰ噪声模型及等效输入噪声电阻…………………3.4.2等效输入噪声温度………693.4.3工作噪声温度……………723.4.4噪声系数……733.4.5噪声测度………………………………………………………………813.5二端口噪声分析………833.5.1二端口的噪声模型变换…………………………………………………833.5.2等效噪声源相关时二端口的噪声分析…………84第4章电子器件噪声884.1电阻噪声………884.1.1电阻的噪声机制与噪声指标…………………………894.1.2低噪声电阻的选择4.2电容、电感和电池噪声934.3半导体二极管的噪声特性…………………………………………………………954.4双极型晶体管(BJT)的噪声特性……994.4.1BJT的结构、等效电路和噪声源………………………………………994.4.2BJT的噪声参数1024.4.3BJT噪声的频率分布……………………………………………………1044.5场效应管(FET)的噪声特性1075.1FET的结构与噪声源…………1074.5.2FET的噪声等效电路与噪声参数1104.6运算放大器的噪声特性………………………………………………………113目录4.6.1运算放大器的等效输入噪声模型………………………………1134.6.2运算放大器噪声性能计算1164.7传感器电路噪声分析………………………………………………………122第5章噪声性能测量1335.1噪声测量常用方法……1335.2噪声测量中的检波器和平均器………………………………………………………1365.3噪声功率和有效值的测量误差1404噪声功率谱密度测量………………………………………………………1425.5二端口等效输人噪声测量1465.6噪声系数测量…………………………………………………………………1475.7噪声温度测量……1545.8其他噪声性能的测量和计算………………………………………………1575.9噪声发生器160第6章干扰噪声1666.1外部噪声源………………………………………1676.1.1自然噪声源…1686.1.2电磁噪声源1706.1.3静电噪声源…1736.1.4非电起源的干扰噪声源………………………………………………1746.1.5干扰噪声的频谱分布1766.2干扰噪声耦合途径……………………………………………………………1776.2.1传导耦合…1796.2.2电场耦合………………………………………………………1836.2.3磁场耦合………1866.2.4电磁辐射耦合………1916.2.5耦合模式……………………………193第7章干扰噪声抑制方法…1967.1电磁屏蔽………………………………………………………………………1967.1.1场传播与波阻抗1977.1.2屏蔽层的吸收损耗……………………………………………………2007.1.3屏蔽层的反射损耗2027.1.4屏蔽层中的多次反射…………………………………………2067.1.5屏蔽效能分析与综合2087.1.6影响屏蔽效能的其他因素…………………………………2117.1.7屏蔽总结2147.2电缆屏蔽层接地216
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    本书是经过锤炼的优秀教材,已在世界范围内畅销三十多年。在美国的概率论教材中,本书占有50%以上的市场,被华盛顿大学、斯坦福大学、普度大学、密歇根大学、约翰霍普金斯大学、得克萨斯大学等众多名校采用。国内很多高校也采用这本书作为教材或参考书,如北京大学、清华大学、华东师范大学、浙江大学、武汉大学、中央财经大学和上海财经大学等。书中通过大量的例子系统介绍了概率论的基础知识及其广泛应用,内容涉及组合分析、条件概率、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的联合分布、期望的性质、极限定理和模拟等。第9版继续对教材进行微调和优化,做了大量的小修改,还增加了有助于建立概率直觉的例子和练习,使得叙述更加清前法国著名数学家和天文学家拉普拉斯侯爵(人称“法国的牛顿”)曾经说过:“我们发现概率论其实就是将常识问题归结为计算.它使我们能够精确地评价凭某种直观感受到的、往往又不能解释清楚的见解……值得注意的是,概率论这门起源于机会游戏的科学,早就应该成为人类知识中最重要的组成部分……生活中那些最重要的问题绝大部分恰恰是概率论问题.”尽管许多人认为,这位对概率论的发展作出过重大贡献的著名侯爵说话有点过头,然而今日,概率论已经成为几乎所有的科学工作者、工程师、医务人员、法律工作者以及企业家们手中的基本工具,这是个不争的事实.事实上,现代人们不再问“是这样么?”而是问“这件事发生的概率有多大?”本书试图成为概率论的入门书.读者对象是数学、统计、工程和其他专业(包括计算机科学、生物学、社会科学和管理科学)的学生.他们的先修知识只是初等微积分本书试图介绍概率论的数学理论,同时通过大量例子说明这门学科的广泛的应用第1章介绍了组合分析的基本原理,它是计算概率的最有效的工具.第2章介绍了概率论的公理体系,并且指出如何应用这些公理进行概率计算第3章讨论概率论中极为重要的概念,即事件的条件概率和事件间的独立性通过一系列例子说明当部分信息可利用时,条件概率就会发挥它的作用;即使在没有这部分信息时,条件概率也可以使概率的计算变得容易、可行.利用“条件”计算概率这一极为重要的技巧还将出现在第7章,在那里我们用它来计算期望在第4、5、6章,我们引进随机变量的概念,第4章讨论离散随机变量,第5章讨论连续随机变量,而将随机变量的联合分布放在第6章在第4章和第5章中讨论了随机变量的期望和方差,并且对许多常见的随机变量,求出了相应的期望和方差第7章讨论了期望值和它的一些重要的性质书中引入了许多例子,解释如何利用随机变量和的期望等于随机变量期望的和这一重要规律来计算随机变量的期望本章中还有几节介绍条件期望(包括它在预测方面的应用)和矩母函数等最后节介绍了多元正态分布,同时给出了来自正态总体的样本均值和样本方差的联合分布的简单证明在第8章我们介绍了概率论的主要的理论结果.特别地,我们证明了强大数定律和中心极限定理.关于强大数定律的证明,我们假定随机变量具有有限的四阶矩2前在这种假定之下;证明十分简单.在中心极限定理的证明中,我们假定了莱维(Levy)的连续性定理成立.在本章中,我们还介绍了若干概率不等式,如马尔可夫不等式切比雪夫不等式和切尔诺夫界.在最后一节,我们给出用随机变量的相应概率去近似独立伯努利随机变量和的相关概率的误差界.第9章介绍了一些附加课题,如马尔可夫链、泊松过程以及信息编码理论初步第10章介绍了统计模拟.第7版将教材内容进一步扩充与调整,加入了很多新的习题和例子.其中第3章例3h进一步展示了e的无处不在;第3章例5f讨论了信息的序贯修正;第4章例7d利用泊松近似的方法证明了n次抛掷硬币试验中,正面朝上的最大游程的长度以0.86的概率落入log2(n)±2的区域内同时引入了关于优惠收集的若干新的例子(第3章例4,第7章例3d和例3等)和多项分布的例子(第6章例4c)本版还加入了许多新内容例如增加了第2章命题44的附注.在关于事件和的概率等式中,若取前面若于项可依次得到事件和的概率的上下界.7.3节是新编入的节,它讨论一串事件发尘次数的矩的计算方法.作为例子导出了二项、超几何配对问题以及负几何随机变量的矩的公式.关于二元正态分布,也加入了若干新材料,在第6章例5c,导出了它的条件分布和边缘分布第7章例5f中计算了两个变量的相关系数,并利用相关系数分析了第7章例8b中的贝叶斯统计的例子与前几版一样,每章后面附了三组练习题,它们分别命名为习题、理论习题和自检习题.在附录B中提供了自检习题的全部解答,以供学生检验他们的理解能力本书前几版曾带有磁盘,包含有概率模型部分的材料,现在这些内容可从本书配套网站下载http://www.prenhall.com/ross学生利用网站可在以下6个方面快速计算和模拟·有3个模块可进行二项、泊松和正态随机变量的计算另一个模块演示中心极限定理,考虑取01,2、3,4共5个值的随机变量,容许使用者输入相应的分布和样本量r.模块将显示n个独立随机变量和的分布列,当n增加时,能“看”到其分布列收敛到正态分布的密度函数的形状●其他2个模块演示强大数定律,使用者可以输入5个可能值的概率以及样本量模块利用随机数模拟具有指定分布的一组样本.模块将各个结果出现的次数用图形显示出来,同时给出样本均值.两个模块在显示试验结果上稍有差别我们感谢下列对本书各个版本给出十分有价值的意见的人们:Robert bauer(伊利诺伊大学厄巴纳尚佩恩分校), Arthur benjamini( HarveyMudd学院, Geoffrey Berresford(长岛大学), Baidurya bhattacharya特拉华大学),Shahar Boneh(丹佛城市州立学院, Nicolas christou(加州大学洛杉矶分校), ScottEmerson(华盛顿大学), Larry harri肯塔基大学). Julia, Hile(亚利桑邶大学,Mark1.本书配套材料也可从图灵网站www.turingbook.com下载前Hber(杜克大学), Hamid jafarkhan(加州大学厄文分校, Chuanshu ji(北卡罗来纳大学 Chapel hill分校), Joe naust(罗格斯大学, Nhu nguyen(新墨西哥州立大学)Ellen oBrien(乔治梅森大学), Jim Propp(威斯康星大学), Malcolm sherman(纽约州立大学奥尔巴尼分校), Murad taqqu(波士顿大学), Eli Upfal(布朗大学)我们同时感谢下列人员对于这一版的修改提出的有益的建议和意见Anastasia ivanova(北卡罗来纳大学), Richard bass(康涅狄格大学), Ed wheeler(田纳西大学), ean cadet,(纽约州立大学石溪分校), Jim Propp(威斯康星大学),MkeHardy(麻省理工学院) Anant( odbole(密歇根科技大学), Zakkhula govindarajulu(肯塔基大学), Richard groeneveld(爱荷华州立大学), Bernard harris(威斯康星大学),Stephen Herschorn(罗格斯大学), Robert Keener(密歇根大学), Thomas liggett(加州大学洛杉矶分校), Bill mccormick(佐治亚大学), Kathryn Prewitt亚利桑那州立大学)特别要感谢 Hossein harnedani( Marquette学)和 Ben perles对手稿的伃细校对我们也要感谢本书的早期版本的校阅者:Thomas R, fischer(德州农机大学), Jay devore(圣路易斯一奥比斯波的加州技术大学, Robb j, muirhead(密歇根大学), David heath(康奈尔大学), Myra samuels(普度大学). IR Savage(耶鲁大学, R. miller(斯坦福大学) K B Athreya(爱荷华州立大学), Phillip beckwith(密歇根科技大学, Howard bird(圣克劳德州立大学, StevenChiappari(圣克拉拉大学), Janes clay(亚利桑那大学图森分校), Francis conlan(圣克拉拉大学), Fred Leysieffcr(佛罗里达州立大学), lan McKeague(佛罗里达州立大子, Helmut mayer((佐治亚大学),NU.Pahu(康奈尔大学), art schwartz(密歇根大学安阿伯分校), Therese Shelton(酉南大学), Allen webster(布拉德利大学)SRsmross(usc. edu目录第1章组合分析4,41随机变量函数的期望……1101引言卩导·■甲甲早45方差………11212计数基本法则…46伯努利随机变量和二项随机13排列变量……………1144组合4.6.1项随机变量的性质…1171.5多项式系数…4.6.2计算二项分布函数…119*16方程的整数解个数94.7泊松随机变量………121小结1148其他离散型分布130习题…12481几何随机变量130理论习题…………………14482负二项分布131白检习题483超几何随机变量…134第2章概率论公理化……………1948.4g(zipf)分布136简介49分布函数的性质……………13722样本空间和事件19小结1382.3概率论公理…22习题24几个简单命题24理论习题……………………14925等可能结果的样本空间28自检习题………………………153*26概率:连续集函数37第5章连续型随机变量15627概率:确信程度的度量……40简介中qp早■p看即冒q■p口■dd■q156小结………4152连续型随机变量的期望和方习题42差…159理论习题…4753均匀分布的随机变量……162自检题5.4正态随机变量165第3章条件概率和独立性5.5指数随机变量…………1743.1简介5156其他连续型分布32条件概率………5156.1T分布…33贝叶斯公式…55562威布尔分布l8034独立事件■■■■6556.3柯西分布………………18135P(·|F)为概率76564分布………………182小结3357随机变量函数的分布183习题小结…184理论习题…94聊pq●■曲●●186自检习题t1■■■99理论习题…190第4章随机变量102自检习题…19441随机变量…102第6章随机变量的联合分布……19742离散型随机变量…10661联合分布函数19743期望1086.2独立随机变量…………2032目录6.3独立随机变量的和214第8章极限定理……33464离散情形下的条件分布……21981引言……3346.5连续情形下的条件分布……2228.2切比雪夫不等式及弱大数律…33466次序统计量…22583中心极限定理…………3376.7随机变量函数的联合分布4强大数律34268可交换随机变量2358.5其他不等式……345小结………………………23986用泊松随机变量逼近独立的伯努与题…·甲咖命命卡甲甲甲甲中单【●·●240利随机变量和的概率误差界…351理论习题…………246小352自检习题…………………249习题353第7章期望的性质·253理论习题……3557.1引言253自检习题35672随机变量和的期望…5第9章概率论的其他课题*721通过概率方法将期望值9.1泊松过程作为界9.2马尔可夫链……264*722关于最大数与最小数的9.3惊奇、不确定性及熵365恒等式…4编码定理及熵……368265小结…血自口■■■鲁“73试验序列巾事件发生次数的373理论习题…374矩…268自检丬题37574协方差、和的方差及相关系第10章模拟数377274101引言……………………3777.5条件期望102具有连续分布函数的随机变7.5.1定义281量的模拟技术3797.5.2利用条件计算期望……282021反变换方法753利用条件计算概率0.22舍取法…754条件方差……10.3模拟离散分布…7.6条件期望及预测………294104方差缩减技术3867矩母函数081041利用对偶变量38778正态随机变量进一步的性质…3061042利用“条件”缩减781多元正态分布306方差38878.2样本均值与样本方差的1043控制变量联合分布………309小结79期望的“般定义…310习题…390小结甲◆●3]1自检习题392习题314索引…■■◆●·司省··自申●鲁個p●曲●……393理论习题………323自检习题…………·330第1章组合分析11引言首先,我们提出一个与概率论有关的有趣的经典问题:一个通信系统含m个天线,顺序地排成一排,只要没有两个连续的天线都失效,那么这个系统就可以接收到信号,此时称这个通信系统是有效的.已经探明这7个天线里,恰好有m个天线是失效的,问此通信系统仍然有效的概率是多大?举例来说,设n=4,m=2,通信系统是否有效取决于这m个天线的设置方式(它们的排列次序).这4个天线一共有6种可能的设置方式1001010100111100其中,1表示天线有效,0表示天线失效可以看出前3种情况整个通信系统仍然有效,而后3种情况系统将失效,因此,若天线的设置方式是随机排列的,所求的概率应该是对亍一般的"和m来说,用类似上述方法可以计算出所求概率.也即,先计算使得系统仍有效的设置方式有多少种,再计算总共有多少种设置方式,两者相除即为所求概率从上所述可看出,一个有效地计算事件发生结果数目的方法是非常有用的.事实上,概率论里的很多问题只要通过计算一个事件发生结果的数目就能得以解决关于计数的数学理论通常称为组合分析( combinatorial analysis12计数基本法则对我们的整个讨论来说,以下关于计数的法则是基本的.粗浅地说,若一个试验有m个可能结果,而另一个试验又有n个可能结果,则两个试验一共有m个结果计数基本法则有两个试验,其中试验1有m种可能发生的结果,对应于试验1的每一个结果,试验2有m种可能发生的结果,则对这两个试验来说,“共有m种可能结果基本法则的证明通过列举两个试验所有可能的结果来证明这个问题,结果第1章组合分析如下:(2,1)(2,2)(m,1)(mn,2)(m,)其中、(,)表示第个试验结果是第种、第二个试验结果是第j种.因此,所有可能结果组成一个矩阵,共有m行m列,结果的总数为m×7,这样就完成了证明例2a一个小团体由10位妇女组成,每位妇女又有3个孩子.现在要从其中选取一位妇女和她的一个孩子评为“年度母亲和年度儿童”,问一共有多少种可能的选取方式?解:将选择妇女看成第一个试验,而接下来选择这位母亲的一个孩子看作第二个试验,那么根据计数基本法则可知,一共有10×3=30种选择方式当有2个以上的试验时,基本法则可以推广如下:推广计数法则共有T个试验.第一个试验有m1种可能结果;对应于第一个试验的每种试验结果,第二个试验有m2种可能结果;对应于头两个试验的每一种2]试验结果第三个试验有m种可能结果等等那么,这个试验一共有n1·72…,种可能结果例2b一个大学计划委员会由3名新生、4名二年级学生、5名三年级学生、2名毕业班学生组成现在要从中选4个人组成一个分委员会,要求来不同的年级,共有多少种选择方式?解:可以把它理解为从每个年级选取一个代表,从而有4个试验,根据推广计数法则,一共有3×4×5×2=120种可能的选择结果例2c车牌号是7位的,如果要求前3个位置必须是字母,后4个必须是数字,共有多少种编排车牌号的方式?解:根据推广计数法则,可知道答案为:26×26×26×10×10×10×10=175760000.例2d对于只定义在n个点上的函数,如果函数取值只能为0或1,这样的函数有多少?解:设这m个点为1,2,…,7,既然对每个点来说,f(2)的取值只能为0或者1,那么一共有2个这样的函数例2e在例2c中,如果不允许字母或数字重复,一共有多少种可能的车牌号?解:这种情况下,一共有26×25×24×10×9×8×7=78624000种可能的车牌号.13排列33排列按随意顺序来排列字母a,b,G,一共有多少种排列方式?通过直接列举,可知共有6种:abe,ach,bc,bea,cab以及cba每一种都可以称为一个排列( permutation)因此,3个元素一共有6种可能排列方式.这个结果能通过计数基本法则得到:在排列中第一个位置可供选择的元素有3个第二个位置可供选择的元素是剩下的两[3个之一,第三个位置只能选择剩下的1个元素因此一共有3x2×1=6种可能的排列假设有n个元素那么用述类似的方法,可知一共有n(n-1)(-2)…321!种不同的排列方式例3a一个垒球队一共有9名队员,问一共有多少种击球顺序?解:一共有9!=362880种可能的击球顺序例3b某概率论班共有6名男生、4名女生,有次测验是根据他们的表现来排名次,假设没有两个学生成绩一样(a)一共有多少种排名次的方式?(b)如限定男生、女生分开排名次,一共有多少种排名次的方式?解a)每种排名方法都对应着一个10人的排列方式,故答案是:10!=3628800(b)男生一起排名次有6!种可能,女生一起排名次有4!种根据计数基本法则,一共有6!×4!=720×24=17280种可能结果例3c把10本书放到书架,其中有4本数学书、3本化学书、2本历史书和本语文书现在要求相同类别的书必须紧挨着放问一共有多少种放法?解:如果数学书放在最前面,接下来放化学书,再下来放历史书,最后放语文书,那么一共有4!3!2!1!种排列方式而这4种书的顺序一共又是4!种因此,所求答案是4!4!3!2!1!=6912接下来讨论如果有n个元素,其中有些是不可区分的,这种排列数如何计算?看下面的例子例3d用 PEPPER的6个字母进行排列,共有几种不同的排列方式?解:如果3个字母P和2个字母E都是可以区分的(标上号),也即P1E1P2P3E2R共有6!种排列方式然而,考察其中任一个拌列,比如P1P2E1P3E2R,如果分别将3个字母P和2个字母E重排,那么得到的结果仍然是 PEPER,也就是说,总共有3!2!种排列PiP2E1P3E,R PiP2E2P Eir PiP3ElP2E2R PiP3e2P2ElrP2P1ElP3E2R P2P1E2P3ElR P2P3E1 PlE2R P2PBE2PIETRPPlE P2E2R P3 P1E2P2E]R P3P2E1P1E2R P3 P2E2PiElR这些排列都是同一种形式: PPEPER.因此一共有6!/(3!2!)=60种不同的排列方
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