opencv2.4.9源码分析——SIFT
详细介绍SIFT算法，opencv的SIFT源码分析，以及应用实例SIFT算法进行了改进,通过对两个相邻高斯尺度空间的图像相减,得到个DoG(高斯差分,Difference of gaussians)的响应值图像Dx,y,σ)来近似LoGD(x,y, o)=(G(x,y, ko)-G(x,y,o)O1(x,y)=L(x,y, ko)-L(x,y,a(5)其中,k为两个相邻尺度空间倍数的常数。可以证明DoG是对LoG的近似表示,并且用DoG代替LoG并不影响对图像斑点位賀的检测。而且用DoG近似LoG可以实现下列好处:第一是LoG需要使用两个方向的高斯二阶微分卷积核,而DoG直接使用晑斯卷积核,省去了卷积核生成的运算量;第二是DoG保留了个高斯尺度空间的图像,因此在生成某一空间尺度的特征时,可以直接使用公式1(或公式3)产生的尺度空间图像,而无需重新再次生成该尺度的图像:第三是DoG具有与LoG相同的性质,即稳定性好、抗干扰能力强。为了在连续的尺度下检测图像的特征点,需要建立DoG金宇塔,而DoG金宁塔的建立又离不开髙斯金字塔的建立,如下图所小,左侧为高斯金字塔,右侧为DoG金字塔:(nextoctave)Scale(firstoctave)Difference ofaussianGaussian(DOG)图1高斯金字塔和DoG金字塔高斯金字塔共分O组( Octave),每组又分S层( Layer)。组内各层图像的分辨率是相同的,即长和宽相同,但尺度逐渐增加,即越往塔顶图像越模糊。而下·组的图像是由上组图像按照隔点降采样得到的,即图像的长和宽分别减半。高斯金字塔的组数O是由输入图像的分辨牽得到的,因为要进行隔点降采样,所以在执行降釆样生成高斯金字塔时,一直到不能降采样为止,但图像太小又亳无意义,因此具体的公式为:0=| log2 min(x,y)-2」(6)其中,X和Y分别为输入图像的长和宽,L」衣示向下取整。金字塔的层数S为:(7)LoWe建议s为3。需要注意的是,除了公式7中的第一个字母是大写的S外,后面出现的都是小写的s髙斯金字塔的创建是这样的:设输入图像的尺度为0.5,由该图像得到高斯金字塔的第0组的第0层图像,它的尺度为m,我们称m为基准层尺度,再由第0层得到第1层,它的尺度为ko,第2层的尺度为k2o,以此类推。这里的k为:(8)我们以s=3为例,第0组的6(s+3=6)幅图像的尺度分别为:0,ko0,k2∞,k3o0,k∞o,k5o(9)写成更一般的公式为:d=or∈[0,,s+2](10)第0组构建完成后,再构建第1组。第1组的第0层图像是由第0组的倒数第3层图像经过隔点采样得到的。由公式10可以得到,第0组的倒数第3层图像的尺度为k∞o,k的值代入公式8,得到了该层图像的尺度正好为2∞,因此第1组的第0层图像的尺度仍然是2∞。但由于第1组图像是由第0组图像经隔点降采样得到的,因此相对于第1组图像的分辨率来说,第θ层图像的尺度为ω,即尺度为2σ是相对于输入图像的分辨率来说的,而尺度为∞是相对丁该组图像的分辨率来说的。这也就是为什么我们称0为基准层尺度的原因(它是每组图像的基准层尺度)。第1组其他层图像的生成与第0组的相同。因此可以看出,第1组各层图像的尺度相对于该组分辨率来说仍然满足公式10。这样做的好处就是编程的效率会提高,并且也保证∫高斯金字塔尺度空间的连续性。而之所以会出现这样的结果,是因为在参数选择上同吋满足公式7、公式8以及对上·组倒数第3层图像降釆样这三个条件的原因。那么第1组各层图像相对」输入图像来说,它们的尺度为:=2k00r∈[0,,S-2该公式与公式10相比较可以看出,第1组各层图像的尺度比第0组相对应层图像的尺度人了一倍。高斯金字塔的其他组的构建以此类推,不再赘述。下面给出相对于输入图像的各层图像的尺度公式:o,)=2k∞O∈[0,O-1l,r∈[0,,+2(12)其中,O表示组的坐标,r表示层的坐标,a为基准层尺度。k用公式8代入,得:2O∈[0,…0-1],r∈[0,…,s+2](13)在高斯金字塔中,第0组第∂层的图像是输入图像经髙斯模糊后的结果,模糊后的图像的高频部分必然会减少,因比为了最大程度的保留原图的信息量,LoWe建议在创建尺度空间前首先对输入图像的长宽扩展一倍,这样就形成了高斯金字塔的第-1组。设输入图像的尺度为0.5,那么相对于输入图像,分辨率护人一倍后的尺度应为1,由该图像依次进行高斯平滑处理得到第-1组的各个层的尺度图像,方法与其他组的一样。由于增加」第-1组,因此公式13重新写为(0∈[-1,0,…,0-1],r∈[0,…,s+2](14)DoG金字塔是由高斯金字塔得到的,即高斯金宁塔组内相邻两层图像相减得到DoG金字塔。如髙斯金字塔的第0组的筼0层和第1层相减得到DoG金字塔的第0组的箅0层图像,高斯金字塔的第0组的第1层和第2层相减得到υσG金字塔的第θ组的第1层图像以此类推。需要注意的是,高斯金字塔的组内相邻两层相减,而两组间的各层是不能相减的因此高斯金字塔每组有s+3层图像,而DoG金宁塔每组则有s+2层图像。极值点的搜索是在DoG金字塔内进行的,这些极值点就是候选的特征点。在搜索之前,我们需要在DoG金字塔内剔除那些像素值过小的点,因为这些像素具有较低的对比度,它们肯定不是稳定的特征点。极值点的搜索不仅需要在它所在尺度空间图像的邻域内进行,还需要在它的相邻尺度空间图像内进行,如图2所示。每个像素在它的尺度图像中一共有8个相邻点,而在它的下一个相邻尺度图像和上个相邻尺度图像还各有9个相鸰点(图2中绿色标注的像素),也就是说,该点是在3×3×3的立方体内被包围着,因此该点在DoG金字塔内一共有26个相邻点需要比较,来判断其是否为极大值或极小值。这里所说的相邻尺度图像指的是在同个组内,因此在DoG金字塔内,每一个组的第0层和最后一层各只有一个相邻尺度图像,所以在搜索极值点时无需在这两层尺度图像内进行,从而使极值点的搜索就只在每组的中间s层尺度图像内进行。搜索的过程是这样的:从每组的第1层开始,以第1层为当前层,对第1层的DoG图像中的每个点取·个3×3×3的立方体,立方体上下层分别为第0层和第2层。这样,搜索得到的极值点既有位置坐标(该点所在图像的空间坐标),又有尺度空间坐标(该点所在层的尺度)。当第1层搜索完成后,再以第2层为当前层,其过程与第1层的搜索类似,以此类推。Scale图2DoG中极值点的搜索2、特征点的定位通过上一步,我们得到了极值点,但这些极值点还仅仅是候选的特征点,因为它们还存在一些不确定的因素。首先是极值点的搜索是在离散空间内进行的,并且这些离散空间还是经过不断的降采样得到的。如果把采样点拟合成由面后我们会发现,原先的极值点并不是真正的极值点,也就是离散空间的极值点并不是连续空间的极值点。在这里,我们是需要精确定位特征点的位置和尺度的,也就是要达到亚像素精度,因此必须进行拟合处。我们使用泰勒级数展开式作为拟合函数。如上所述,极值点是·个三维矢量,即它包括极值点所在的尺度,以及它的尺度图像坐标,即=(x,y,o),因此我们需要三维函数的泰勒级数展开式,设我们在=(x0,y,)处进行泰勒级数展开,则它的矩阵形式为:602f02f02fdxax day dao02f02f02faxdy ayay ayaallly-yol2f02f02fOrdo aydo dodo(15)公式15为舍去高阶项的形式,而它的矢量表示形式为f(X)=f(X0)+o￥(X-x0)+7(x-x0)a F(X-Xo(16)在这里表示离散空间卜的插值中心(在离散空问内也就是采样点)坐标,表示拟合后连续空间下的插值点坐标,设ⅹ=Ⅹ-Xn,则X表示相对于插值中心,插值后的偏移量。因此公式16绎过变量变换后,又可写成:f(x)=f(X0)+yX+XTⅩX20X2(17)对上式求导,得af (x a02f0ox ox+2 ax2+axa80f.02fXaxaX2(18)让公式17的导数为0,即公式18为0,就可得到极值点下的相对于插值中心的偏移量:aX2 ax(19)把公式19得到的极值点带入公式17中,就得到了该极值点下的极值Tf(X)=f(X0)+af02f10f)a2f/02f-1of2 8X2 0X/0X28X2dXf(X0)+H打×1ora2Ta2f-ra2fa2f-1 af2 dx dx2dx2dx2 dXa f02f-10f∫(X0)+dF×f7a22 ax ax2 axaflf(Xo)+xx+2 0X(-X)18Ff(X0)+2 aX(20)对于公式19所求得的偏移量如果大」0.5(只要x、y和σ任意一个量大于0.5),则表明插值点已偏移到了它的临近的插值中心,所以必须改变当前的位置,使其为它所偏移到的插值中心处,然后在新的位置上重新进行泰勒级数插值拟合,直到偏移量小于0.5为止(x、y和σ都小于0.5),这是一个迭代的工程。当然,为了避免无限次的迭代,我们还需要设置个最人迭代次数,在达到了迭代次数但仍然没有满足偏移量小于0.5的情况下,该极值点就要被剔除掉。另外,如果由公式20所得到的极值f(X过小,即f(X1,则Tr(H)2(a+β)2(+β)2(y+1)2Det(h)2(25)上式的结果只与两个特征值的比例有关,而与具体的特征值无关。我们知道,当某个像系的矩阵的两个特征值相差越大,即γ很大,则该像素越有可能是边缘。对于公式25,当两个特征值相等时,等式的值最小,随着γ的增加,等式的值也增加。所以,要想检查主曲率的比值是否小于某一阈值y,只要检査下式是否成立即可:Tr(H)(y+1)Det(h)(26)对于不满足上式的极值点就不是特征点,因此应该把它们剔除掉。Lowe给出γ为10在上面的运算中,需要用到有限差分法求偏导,在这里我们给出具体的公式。为方便起见我们以图像为例只给出二元函数的实例。与二元函数类似,三元函数的偏导可以很容易的得到设f(i,是ν轴为i、x轴为j的图像像素值,则在(j点处的一阶、二阶及二阶混合偏导af f(i, j+1)-f(i, j0ff(i+1,j)-f(-1,ax2h2h(27)ff(+1)+f(-1)-2f(,j)a2ff(+1,j+f(-1,j)-2f(i,j)hh(28)2ff(-1,j-1)+f(i+1,j+1)-f(i-1,+1)-f(i+1,-1)dx d(29)由丁在图像中,相邻像素之问的间隔都是1,所以这里的h3、方向角度的确定经过上面两个步骤,一幅图像的特征点就可以完全找到,而且这些特征点是具有尺度不变性。但为了实现旋转不变性,还需要为特征点分配一个方向角度,也就是需要根据检测到的特征点所在的高斯尺度图像的局部结构求得一个方向基准。该高斯尺度图像的尺度a是已知的,并且该尺度是相对于高斯金字塔所在组的基准层的尺度,也就是公式10所表示的尺度。而所谓局部结构指的是在高斯尺度图像中以特征点为中心,以r为半径的区域内计算所有像素梯度的幅角和幅值,半径r为(30)其中a就是上面提到的相对于所在组的基准层的高斯尺度图像的尺度。像素梯度的幅值和幅角的计算公式为:m(xy)=√(x+1,y)-L(x-1,y)2+(L(x,y+1),L(x,y-1)2(31)L(x,y+1)-L(x,y-1)o(x, y)=arctanL(x+1,y)-L(x-1,y)(32)因为在以〃为半径的区域内的像素梯度幅值对圆心处的特征点的贡献是不同的,因此还需要对幅值进行加权处理,这里采用的是高斯加权,该高斯函数的方差Cm为:Om=1.50(33)其中,公式中的σ也就是公式30中的σ在完成特征点邻域范围内的梯度计算后,还要应用梯度方向直方图来统计邻域內内像素的梯度方向所对应的幅值大小。具体的做法是,把360°分为36个柱,则每10°为一个柱,即0°~9为第1柱,10°~19为第2柱,以此类推。在以r为半径的区域内,把那些梯度方向在0~9°范围内的像索找出来,把它们的加权后的梯度嘔值相加在一起,作为第1柱的柱高;求第2柱以及其他柱的高度的方法相同,不再赘述。为了防止某个梯度方向角度因受到噪声的干扰而突变,我们还需要对梯度方向直方图进行平滑处理。 Opencv2.4.9所使用的平滑公式为:H()~h(-2)+h(+2)4×(h(-1)+h(+1)),6×h()i=0...15161616(34)其中h和H分别表示平滑前和平滑后的直方图。由于角度是循环的,即0°=360°,如果出现h(),j超出了(0,…,15)的范围,那么可以通过圆周循环的方法找到它所对应的、在0°~360°之间的值,如h(-1)-h(15)这样,直方图的主峰值,即最高的那个柱体所代表的方向就是该特征点处邻域范围内图像棁度的主方向,也就是该特征点的上方向。由于柱体所代表的角度只是一个范围,如第1柱的角度为0~9°,因此还需要对离散的梯度方向直方图进行插值拟合处理,以得到更精确的方向角度值。例如我们凵经得到了第i柱所代表的方向为特征点的主方向,则拟合公式为:H(i-1)-H(i+1)B=i+=0,…152×(H(-1)+H(i+1)-2×H()(35)O=360-10xB(36)其中,H为由公式34得到的直方图,角度6的单位是度。同样的,公式35和公式36也存在着公式34所遇到的角度问题,处理的方法同样还是利用角度的圆周循环。每个特征点除了必须分配一个主方向外,还可能有一个或更多个辅方冋同,增加辅方向的目的是为了增强图像匹配的鲁棒性。辅方向的定义是,当存在另个柱体高度大于主方向柱体高度的80%时,则该柱体所代表的方向角度就是该特征点的辅方向。在第2步中,我们实现∫用两个信息量来表小一个特征点,即位置和尺度。那么经过上面的计算,我们对特征点的表示形式又增加了个信息量一一方向,即(x,y,o,6)。如果某个特征点还有一个辅方向,则这个特征点就要用两个值来表示——(x,y,,B1)和(x,y,,02),其中O1表示主方向,O2表示辅方向,而其他的变量x,y,不变。4、特征点描述符生成
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微波网络及其应用.pdf
微波网络及其应用 免费分享85,6直接耦合谐振器笮带带通§7.8支线定向合器…………滤波器………………………§7.9混合电桥的基本概念3!9§区.71/4波长短截线和联接线宽§7.10魔?和折叠双T接头………3I带带通滤波器…957.11矩形波导裂缝电桥§5.8平行耦合线带通滤泼器…20087.12环形电桥h十酽■■■冒吾1·P■■··3了3§59交指型带通滤波器……………6§7.13三端功率分配器…§5.10微带阻滤波器习趣§5,11徼波分路滤波器……………26§5,12微波滤波酱的相移和时延第八章微速铁氧体元件……特性司卓p自申●■啁口中●口啁■四●d自■口■§8.1引言……………………3日§5.13元件损耗对滤波器性能的§82张量导磁率和本征导磁率…影响4■即22383铁氧体非互易网络-346习题230§8,4Y型结环行器分析…………370§8.5双模移相器分析第大拿.阻抗匹配网络「2§8.6边导模器件…39§6.1引言23题………397§6.2抗匹配网络的宽带极……233§631/4波长阶梯阻抗变换器…a九章微渡系統分析中·“章自甲·‘86,4渐变线阻抗变换器…7§9.1引6.5低通港波阻抗变换器25289.2复杂网络的一般婢论……………4§6.6电抗性负载阻抗匹配网络……25939.3微波混合系统分析……n09§67负阻负载随抗匹配网络……21§9.4微波复杂系统分析…………43对题27589.5徼波溅量系统分柝·§9.6长馈线网络反射系数的概第七蠶微波定向網合器、沮合电桥及率分布+66功率分配器27T习趙87,1引肓……27§72定向耦合器的基本概念第十章计算乱输助设计网络初步…4537了§7.3平行矩形披导圆孔阵定向§1.1引言476合器21§1.2计鲜机辅助设计的一般§7.4正交矩形波导十字槽定向问题45构合器■·十■■平■■+·4女■画■p■b■29010,3矩量法S75单节平行糊合线定向糊§1合,4微波网络的优化99合器…295§10.5模拟技术§7.6多节平行耦合线定向§10.6计算机辅助设计的发展糊合楼越势50r§77不均匀耦合线高通定向耦合器……附录四单纯形优计录附录五长愦缤网络反射系数的附录一矩阵代数模拟程序及其说明附录二互易定理参考书目…晶幽"55附录三行主元消去法求逆矩阵…506第一章微波网络基础§1.1引言任何一个微波系统,都是由各种微波元件和徽波传输线连接而成。微波传输线特性可以用广义传输线方程来描述,徼波元件特性可以《类似低频网络)等效电路来描述,于是复杂的徽波系统,就可以用电磁理论和低频网络理论相绪合来求解,成为一门傲波网络理诒。每个微菠元件都可飴和几个微波传输线相连接,按照所连接传输线数目多少,微波元件可以分成苧端口、双端『、三端口、四端口等微波元件。每个微波元件都可以看成个微波网络,堕着徵波元件端口数的不同,微波网络也分为单端口、双端『、三端口、四端口等微波网络。实际所用的微波元件可高达四端口,凹端厂以上的徽波元件就很少应用了微波网络理论的主要目的,在于分析做波元件的工作特性,或依据它的工作特性,综合出微波元件结构和设讨方法,以便工程应用。分析微波元件的工作特性的方法有二,是应用麦克斯韦方程和元件的特定边界条件,求出其场强的分布、波的振荡和传输等特性;另一是把微波元件等效成微波网络,把连接它的传输縐等效成双导线传输线,然后用网络方法进行分菥。第一种方法比迹严格,听得结果ⅸ较全面正确,但其数学送算繁琐,所得结果通常都是特妹函缴,不便于下程应用。第种方法是近似的,能够得到微波元件主要传输特性,并且网络参薮可用测量方法来确定,便于工程应用,但不能得出元件内部场的分布情況。昱然如此,但由于网络方法计算简便,易于测量,又为广大工程技术人员所熟知,揿应用较为广泛。徽波电磁理论与徹波网络理论域是两大独立分支,但两者是相互连系的,微波网络理论是微波电磁理论的工程化,只信在微波电憾理论的基础上来探讨和发展微波网络理论,才是正确的方向微波网络理论又分为线性网绉理论和非线性网络理论,本书只讨论线性网络理论微波网络方法分析法和综合法两种,分析法是按已经掌握的基本微波网络结构及其特性,进行各种组合,来满足工作要求;综合法则根预定工作特性要求,来实现徼波网络结构。前者设计比较简单,但往往得不到性能优良而元件较少的最佳结果;后者虽然设计理论比较复杂,但能得到性能优良而元件较少的最佳设计。现在由于电子计算机的发展网络猕合所雷要的繁琰计算,都可用计算机来完成,一些主要元件设计都有现成图表数据备查,因而网络综合法已成为设计微波元件的主要方法。本书就是以网络综合法作为主要方法本章日的在于给定微波阿络的一些基本概念和基本参数。首先讨论广义传输线理论3从而定义出微波网络的电压和电流,这对了解等效电路的意义是很必要的。然后导出网络的阻抗矩阵、导纳矩阵、A矩阵、散射矩阵以及传输矩阵,并讨论它们的性质与相互变换,这给我们分析徽波网络是供数学工具。最后,讨论徼波闼络的本征值问题、网络参数浏量理论以及讯号流图,这对我们求解微波网络问题提供些必要的手。§1.2做波传输线及其特性电磁波可以用导体战介质进行引导,使其按一定方向传输·这种引导电磁被的装置叫妝传输线。在微波波段内,导行波的现象特明显,特别容彭b,因而有各种各样的微波传输线。图1.2-1示出几种常见的微波传输线,它们都是直的〔轴向),可以很长,直至无穷远。它们的横截面(横〕的几旋早4)矩形导(Abet〔c)同抽线何形状和媒质分布处处灬样,不因轴向位置不同而改变n这类传轴线叫做均匀传输线。在这些传输线中,电磁波沿着轴向传输,横截面上电磁场按一定规律分t带线布,所以这类电磁场问题可分为d)带状线两部分来研究。一是研究轴向的团12-1各种做菠传输线传输问题,叫做纵向问题;一是研究横截面上电磁场分布问题,叫做横向问题。两者相互联系,相互制约,究竟先研究哪个阿题,在理论上是无关紧要的。本背先从麦克斯韦方程发,简略叙速这类传输线的分析方法,从而得出其传输特性和等效电路。、微波传输线的电磁场方架研究任意檢截面的均匀徼波传输线中的电碱场,应从麦克斯韦方程出发。在正弦交变场情况下支克斯韦方程的复数形式是vxH=OEYXE=-FoWH.2-1·E=0V·=Q式屮∈是媒质的介电常数,μ是导磁率,它们都是与场强无关的當数。为求解传输线中电场E和磁场酽的方便,通常引入两个赫兹矢量位。由VH=0出发,可引入一个矢量位∏,使得≡{×∏,它消足回·H=jω∈V·(Vⅹn)=0,因为任何欠量旋度的散度恒等于零。矢量位∏°叫做赫兹电矢量,它揣足三维亥姆霍茨方程V2T+2T-0H=j∈V×T(1.2-2E=V(∏)+kT由￠-E=0出发,还可引入另一个矢量位冂,使得E=-fμ×n,并满足方程,j0v·(×T")=0。矢量位∏叫做赫兹磁矢量,它也满足三维亥姆霍茯·EVm+2r”=E=-jcV×nH=V(·T")+2n式中k=v比∈是无限媒质的波数。为解出均匀传输线中电磁场的普遍关系式,我们釆用广义正交柱坐标系(,琶,2)其中z是纵向直坐标,而,v是横截面上的曲线坐标,如图1.2-2所示。对于直角坐标系,“=%,U=y。在此坐标系中,为求解方程常数(12-2)和(12-3)筒便起见,可令『和∏t情数只有z方间分量,即=ir=ili同时担算符Ⅴ写成Ⅴ=4十--,其中Ⅴ是横截面型标的算符、L是之方向的单位矢。将上述关图122广叉止交坐訴系系代入(1.22)和(12-3)式中即可得到H=冖jo∈XV∏EA=v022十2∏z以及V21]z+21i=0E=j四Hz=×Ⅴm(1.2-5FI = =vp点2丑由此可见,在惹电矢量只有z分量的情况F,电磁波在2方向只有电场分量Ex而磁场分量Hx=,掀叫橫磁波(TM模),又叫徹哐波(E貘)。在勅兹磁矢量只有z分量的情况下,电磁波在z方向只有磁场分量II,而电场分量x=0,故叫做横忠波(TE模),又叫徹磁波(摸)这些模式能否在传输线中存在,是出其边界条件来决定的。对于TM模,在W=常数或U=常数的电壁(殚想导体表面)上!9=0;在H=常数的磁壁⊥d=0,在=常数的磁壁上(理想导磁体表面),。0=0,对于模,在2常数的电壁上,0,在=常数的电壁上,a门=0;在=砦数或v=常数的磁瑾上,巧=0在徽彼传输线中,如果单纯TM模或TE核不能满足逊界条件时,两者必须同时存在此时电磁就既有Ex分量,也有丑分量,叫做混合模。在直型标系中,混合模有两种简单形式,可令(12-2)或(1.2-3)式中=,「=求得。它们的表示式是∏6+hnr+R s上x=0d+们(1.2-7)EPoYEHII∵x由此可见,在赫兹电矢量只有x分量的情况下,电憾波的电场和磁场都具有之分量,仨磁场没有分量,即H=0,磁力线分纵向截上,叫做纵向磁波,筒称LSM模或TM模。在赫兹磁欠量只有x分量的情况下,电磁波的电场和磁场都有z分量,但电场没有x分量,即E:=0,电力线分布在纵向截面上,叫做纵向电波,简称LSE模或TEx棋。广义传输线方程我竹已知:求解黴波传输线的电磁场时,不管其中存在何种传输模式:槨要解赫兹矢量的三维亥姆霍茨方程,特别重要的是求解其中某一坐标分量的三维亥姆霍茨方积Van+kl o即YAI T五↓高I=0式中波函数Ⅱ既可以代表赫兹电矢量的κ分量(M模〉或x分量(LSM模),也可以代表赫兹磁矢量的2分量(TE模)或分量(LSE樸)。(1.2-8)式是个二阶偏微分方程,可用分离交量法求解。求解时令∏(#,沙,2)=∫(#,v)ψ(212-9式中f(u,t)只是横截面平标和的函数,ψ(x)只是纵向坐标之的图数。将(1,2-9式代入(1.2-8)式中就得到Vif(m, v)d2p(2)上式芹边仅仅是和U的数,与2无关;右边仅仅是z的函数,与和矿无关。两边相等,表明它们都必须等于常数。设此分离常数为一,则有(1.2-10)y2(2)=0(1.2-11)式中γ=k一由此可见,波函数∏(,U,2)可分离成f(u,)烈ψ(2)两个函教之积,其中f(,v)满足横坐标和v的二维亥姆霍茨方程,它决定横截面上电磁场分布。ψ(2)满足纵巫标z的传输线方程,它决定轴向电磁波的传输特性,故此方程称为广义传输线方程。由于我们所研究的微波传输线是无穷长,没有反射波,,故(1.2-11)式的解是2〕=Ag式中A是一个常缴,决定波的振幅。于是波函数n是∏(u,,z)=f(,u)ψ(z)=Af(n,)e(1.2-12)已知波函数后,传输线中各种模式的电戤场可由(1.2-4)到(1.2-7)式求得例如对于TM模∈A2xV(H,U)EE1=一YAVf(,t)e1.2-13)42)e对」IEE=j甲A2×Vf(,)e1(1.2-14)ustkA(u, ue传输特性电磁波在微波传输线中的传输特性,通常用其相速、波阳抗以及传输功率来表征,因为用它们可以确定波的传输快慢、强弱以及电场与磁场间的关系。一般说来,波的这些特性都与传输线的横截面的儿何结构有关,也就是与其边界条件关。下面分别叙述之1.被的速度在(12-2)式中波函数具有因子cY,它表示电磁波沿2方向的传输情况。ˇ叫做传输常数,通常是个复数,可以写为y=a+。其中叫做衰减常数,表示波在传输过程中振幅哀减的快慢β叫做相移常数,表示波不传输过程中相位变化的快慢。如果我们假设媒质是无耗的,μ和∈郗是实常数,则波数長=如vμ也是实数,这样,由y2后一}2可知,y的性质随者的不同而异,而是白横截面的边界条件决定的但是,不管横截画的几何结构如何,只可能有三种情况:(1)是的=0,(2)是>0,(3)是A0的情况下,电磁波的E。或H不等于,可以是M糖、E模或混合模这时传掏常数是即1.2-1?)如果令h=-5=2x/2n,B=/=2x/入,h=2τ/A其中是无限媒质中的波长,2是波导波长,A是截止波长,则(12-17)式变为(λ3/A入)21.2-18}由此可见,当為a,kx>λ,即波的相速大子无限媒质的光速,叫做快波。快波的波长大于无限媒质的波长。当λ>λa时,相速和波长都是虚激,没有物理意义,但这时=kk式中α是实数,故此电磁波变成衰减电磁场,随着轴向距离的增大,场的振幅逐惭衰演,但其相位不变,故衰减场是不能在传输线上传输的。0=是传输线中传输快波还是衰减场的临界情况,这时=0,月=0,传输线中既没有快波传输,也不是衰减场,而是等福的电磁场。λ之所以叫儆截止铍长,是因为当λ≥λe时,传输线中没有电磁波传输。在始8:因此Y=vR一的=v1+(B/R)=f于是波的相速和波长是1.2-19)2兀=入/V1+(戶,/)2由此可见,这类波的相速小于无阳媒质中的光速,岍做慢波,慢波的波长小于无限媒中的波长
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