利用Hilbert变换提取信号瞬时特征的算法实现
研究了在工程中如何通过算法来实现利用 Hilbert 变换提取信号的瞬时特征。深入地分析了如何利用数值微分法提高提取瞬时频率特征的精度。最后,给出了一种可行的算法,并通过实验验证了这种方法可以在工程中有效地提取信号的瞬时频率特征。84微机发展第13卷①H(x)=y;H(x)=y;(i=0,1,…n)(j=0,1(11)②在每个小区间/x1,x1+17i=0,1,…,n-1)上由相关定理知:当划分的小区间的长度趋于零时H(x)是三次多项式。s(x)及其一至三阶导数分别一致收敛到f(x)及其一至可以写出分段三次 Hermite插值函数的分段表达式:三阶导数。所以用三次样条插值函数去近似表达用离散值(x)=(1+2x-x过+)2v;+表示的原函数,具有较高的可靠性。3)两种插值的比较挨尔米特 Hermite插值较三次样I-i,1+2条插值具有较好的稳定性与收敛性,但它只能休让各段曲线在连接点上的连续性,而不能保证整条曲线在这些点上y+1Ditl的光滑性。而有时不仅要求曲线连续,而且要求曲线的曲X/(i=0,18)率也连续即要求分段插值函数具有连续的一阶导数,埃H(x)的导数为尔米特 Hermite插值此时就不能满足上述要求6次样条插值较埃尔米特 Hermite插值具有较好的H(x光滑程度,用三次样条插值函数求数值导数比用埃尔米特+2(x-x2(xHermite插值可靠性大,但计算比较复杂,二者的区别见图h2yV+17, h(i-0,12)三次样条插值。已知函数y=f(x)在区间/a,b上的n+1个节点上的值y=f(x;)(i=0,1,…m),求插值函数s(x),使(i=0,1图4 Hermite插值与三次样条插值的比较图2在每个小区间x,x+1(=0.1.…n-1)上利用埃尔米特 Hermite插值得到的2FSK信号的瞬时s(x是三次多项式,记为s(x频率见图5,利用二次样条插值得到的该信号的瞬时频率③3(x)在la,b/上二阶连续可徵。见图6。数s(x)称为f(x)的三次样条插值函数可以利用节点处的二阶导数值为参数,也可以利用节点处的导数值为参数求三次样条插值涵数的表达式。若利用节点处的一阶导数值为参数,求得的三次样条插值函数的表达式为(x)=M-1x-x-)36 h6 hMihi5 DEMeN5a亩pai66hx∈[x;,x+17,b-x+1-x,S"(x)=M图5由 Hermite插值提取图6由三次样条插值提取(j=0,1的2FSK信号的瞬时频率的2FSK信号的瞬时频率对s(x)进行求导,利用S(x)在节点处一阶导数连从图5、图6可以看出利用三次样条插值得到的瞬时续的性质结合边界条件求解出参数M,把求得的参数代频率可以准确反映出信号具有的的摒时频率特征而利用入公式(10),即得三次样条插值函数的s(x)分段表示式。埃尔米特 Hermite插值得到的瞬时频率与信号具有的瞬s;(x)的导数为时频率特征不符。这是因为利用数值微分法求瞬时频率插值以后喫进行求导。三次样条插值函数具有连续的二阶M2 hiM; 2 hj导数,因而具有较好的光滑程度,符合求导条件,所以可以J+1-h(M2+1-M/)准确求出信号的瞬时频率;而埃尔米特 Hernite插值.不够光滑,虽能保证插值多项式收敛于原函数,但不能保证插x Elx,x;+1 h,=xi+I-x, S(xj )=M;值多顷式的导数收敛于原函数的导数,所以求得的值与信o1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net第6期刘慧婷等:利用 Hilbert变提取信号瞵时特征的算法实现号实际的瞬时频率值不符。实验结果和理论分析结果是(1) Hilbert变换只能近似应用于窄带信号,即形如纹的(t)=a(1)cosu+6(1)),其中>>B(B为信号带2.3.3结论宽)的信号。但实际应用中,存在许多非窄带信号, Hilbcrt利用数值微分法求瞬时频率ω(t)的步骤可以归纳变换对这些信号无能为力为:首先通过三次样条插值得到分段多项式p(1),(2)对于任意给定时刻,通过 Hilbert变换运算后的结pp(抄);然后分别对分段多项式p(t),Pp()关于变量t果只能存在一个频率值,即只能处理任何时刻为单一频率进行求导,得到pd(,ppd(t);最后求出每一时刻t所对的信号。这显然不合理,因为在实东中同一信号会含有多应的导数值,即求得t(t,u(t)。再把求得的值代入公种频率成分式(6)就完成了提取瞬时频率ω(1)的过程。求解结果见(3)对信号进行 Hilbert变换时,信号的两端会出现严图7重的端点效应。提取某些信号瞬时特征所得的瞬时频率在局部出现了负数,端点效应是造成负频率的一个原因而端点效应可以通过利用特征波对原有数据序列进行延拓的方法来解决,具体解决办法将在今后讨论。尽管目前出现了EMD担论4,其目的是将不满足Hibt变换的信号进行分解得到若干个IMF( intrinsic mode function),然后进行 Hilbert运算,达到提取信号瞬时特征的目的。该理论开辟了信号处理的新空间。但它还不够成熟还需喫进一步的完善和研究图7利用数值微分法提取信号的瞬时频率特征参考文献从图7可以看出,以三次烊条指值进行的数值微分可[]黄长蓉. Hilbert变换及其应用[J].成都气象学院学报以准确岀提取岀信号的瞬时频率特征。199,14(3):273-276.[2]杨小牛,楼A义,徐建良.软件无线电原理与应用[M].北3结束语京:电子工业出版社,2001在工程中, Hilbert变换使得我们对短信号和复杂信号[3]丁丽妤.数值计算方法[M].北京:北京理工大学出版社,的摒时特征的提取成为可能特别是对瞬时频率特征提1997取,在工程中具有十公重要的意义。文中讨论的利用三次[4] Huang N e. The empirical mode decomposition and the hilbert样条插值进行数值徵分以提取瞬时特征的方法是可行的,spectrum for nonlinear and nor stationary time series anal ysis但还存在着如下问题。[].Proc.R.soc.Lond.A,1998,454:903-995(上接第81页)218994。例22(x)=(1-2siny=223101075一般的(A算法计算了120代,求到的最大值为454176.219。154370083改进的α算法计算了34代,求到的最大值为1048575.875。改进后的αA算法收敛速度(指迭代次数)比一般GA算法几乎快了一个数量级,精度也提高了不少,特别是例2的最大值提高一倍多,速度提高这么快是未曾料到的y=74958参考文献+4X Axl Thla[1]陈国良.遗传算法及其应用[M]·北京:人民邮电出版社,图2函数2的图像1996一般GA算法计算了20代,求到的最大值为[2]袁亚湘,孙文瑜.最优化理沦与方法[M]北京:科学出版社,19991.218983[3]张铃,张钹·遗传算法杋理的硏究[J]·软件学报,改进(A算法计算了5代,求到的最大值为2000,11(7):945952o1994-2010ChinaacAdemicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net
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粗糙集理论与方法
张文修的一本比较经典的粗糙集理论的教材，感兴趣的可以参考下00140230西安交通大学数学研究生教学丛书粗糙集理论与方法张文修吴伟志梁吉业李德玉编著2001内容简介本书系统地介绍了粗糙集理论的基本内容与方法,力图概括回内外最新成果主要内容有粗糙集的基本概念,粗糙计算方法,粗糙集的代数性质与粗糙逻辑,粗幡集的各种推广模型,粗糙集与其他处理不确定或不精确问邀理论的联系以不完备信息系统下的粗糙集方法本书可作为计算机科学应用数学、自动控制、信息科学和管理工程等专业的高年级学生及研究生的教材,也可作为研究粗橢集理论与方法的科技人员的参考书书在版编目CI据粗糙集理论与方法/文修等编著.北京:科学出版社,2001酉安交道大学数学研究生教学丛书)1sBN70307984.租…山.张…Ⅲ.粗糙集Ⅳ.Ol44中图娅本图书馆CIP数据校字(2000第69236号科學当腹越出版北京东监域根北]6号鄙蝙;117斯音刮厂郾刷科学出版社发行各她新华书店经销200H年月第版开本:F5(72×1020年7月第一次印剧印张:1434型数:1-3000字数:25100定价:22.00元(如有印质量间题,我社负资调换〈新欣当今,社会巳经齿入了恻络信息时代,计算机与网络信息技术的飞速发展使得各个领域的数据和信息急剧增加(信息爆炸),并且由于入类的参与使数据与信息系统中的不确定性更加显著(复杂系统)如何从大量的、杂乱无章的、强一扰的数据(海量效据)中挖掘潜在的、有利用价值的信息(有用知识这给人类的智能信息处理能大提出了所未有的挑战.由此产生了人工智能併究的一个崭新领城——数据挖掘(ⅠM和数据库知识发现(KDD在IM和KD诸多方法中,粗糙集理论与方法对于处理复杂系统不失为一种较为有效的方法,因为它与概率方法模糊集方法和证据理论方法等其他处理不确定性问题理论的最显著约区别是它无需提供问题所需处理的数据集合之外的任何先验信息当然,由于该理论未能包含处理不精确或不确定原始数据的机制,所以与其他处理不确定性问题的理论有很强的互补性相糙集理论是波兰数学家 Z Pawiak于1982年提出的一种数据分析理论由于最初关于粗糙集理论的研究主要集中在波兰,因此当时并没有引起国际计算机界和数学界的重视,研究地域仅局限于东欧一些国家.直到1990年前后,由于该理论在数据的决策与分析、模式识别、机器学习与知识发现等方面的成功应用,才逐渐引起了世界各国学者的广泛关注.1991年 Z Pawlak的专著《料糙集—关于数据推理的理论》 Rough: Sets-- -Thearetical/etsof Reasoning about Data)的问世,标志着粗糙集理论及其应用的研究进人丁活跃时期.1992年在波兰召开了关于粗糙集理论的第一屈国际学术会议.1995年A(M(απ munication将粗糙集列为新浮现的计算机科学的研究课题.目前粗糙集理论已成为信息科学最为活跃的研究领域之一,同时,该理论还在医学、化学、材料学地理学管理科学和金融等其他学科得到∫成功的应用本书的目的是介绍粗糙集射基本理论与方法以及这理论的研究发展状况.为了闯读方倜,本书对国内外已发表的文章进行了系统化处理,规范了数学概念与符号,在统一的框架下叙述了粗糙集理论的最新研究成果,同时也包含了作者的某些新成果,期望为从事粗糙集理论研究入员和研究生进人这新领域提供捷径鉴于我们从事该领域的研究工作时间较短,加之身知识的局限性,错误与不妥之处在所难免,热忧欢迎广大同仁批评、指止作者2000年8月录第-章粗糙集理论的基本概念§【.1知识与知识库§【.2不精确范嗨,近似与粗糙集…■■■■■■■■§.3知识约简……§1.4知识的依赖性………………………………………16§1.5知识表达系统17§.6决策表『·「TT·■冒■音T曾■鲁?1音曾■上……………19§1.7区分矩阵与区分函数笫二章粗糙集模型的算法262.1信总系统和决策表TT1T1冒量26§22简单分类27氵2.3支持子集………s24决策属性的支持度………kd■p电■山白山§2.5交的计算……………33s26多个条件的支持度■『■冒■■■卩甲■罩卩『■■■b■■d■b山I凸晶d■■34氵2.7函数依赖…………………35§2.8恒等依赖甲干·!■■■冒■1■dh十■m§2.9重要性和核§2.10属性依颊性T甲“■·T曾冒會會十個ql早4■■■個會3§2.11约简T■■第三章般关系下的粗糙集模型…§3.1二元关系与邻城算子……………41§3.2二元关系与粗糙近似算子…43§3,3近似算子的其地定义形式与比较……………4§34近似算子的表示…自■■■■■■4■郾LI卜郾4■■b▲■■■■■■■·甲聊a■b■着郾山晶d§3.5程度粗榧集模型…■■會會■■‘自自自■聊即聊■b■■当dh_画第四章粗糙集代数的公理化方法…*574.1粗糙集理论的构造性方法…rr…"w…5784.2粗糙集理论的公理化方法§4.3构造性方法与公理化方法的关系…………■·■幽日··■■口■甲■【山■中中…6284.4特殊类型的粗糙集代数第五章粗糙集系统的代数结构·「丬■"■·白幽■日■『■早■卜P画■着■昌白晶画聊甲嵋目录§5.1粗糙集的Se代数§5.2粗糙近似宰间血d幽唱幽日日4:bq1即4日日B:甲44日b·甲日甲4:·甲4§5.3粗集和 Nelson代数…■_L啁↓■■■■■b§5.4粗糙概念的代数刻画■■■■■■■■■■■d口口……………85§5.5半群中的粗理想……,……………■■■■93第六章粗糙逻辑与决策■■■■■■■歌■↓■■罩↓卩■l■■罩d■b■■鄢↓■k↓db■■■■b■kd看■郾■■b矗■司■山山d■b古■■98§6,1基于完备信息系统的粗逻辑986.2决策逻辑与决策………………1"""…!…"……s…100§6.3基于不光备信息系统的模态逻辑………………115第七章变榇度粗糙集模型■【■■冒■■甲卓■■■■山d血血個■备量§7.多燃包含关系…123§72咄精度粗槌集模型中的近似集……………………………………124§73集合钓相对可辨别性…………………………-:126§74B近似的性质…128属性钓近似依赖性129§7.6近似约简…甲甲■■■郾通4阝………",130第八章概率粗糙集模型132§8有限论域上概率测度的基本知识……13§8,2信息熵…L唱■LLa133§8.3概卒粗糙集模型∵……T■■■■■■…135§8.4概率粗糙集模型的其他形式1398.5Rys决策与粗糙近似142路呂.6粗糙隶属函数与概念的联合rr1148§8.7知识的不确定性度量§B8概率粗糧集模翘和确定性粗糙集模型的比较………,155第九章模糊粗糙集模型P■s…1589.1模糊集的基本慨念158§9,2糢糊关系………………441·日·日q甲日■_日面如a甲qrpa4P自……·160§93模糊粗糙集………161§9.4甚于三角模的模糊粗欖集模型…:16889.5基于包含度的粗牲集模型……………■■和冒省●·■口■即甲看看D品J§9.6絛正型模糊粗糙集模型……■;;■■山晶;aq41即■血mm■甲甲唱1酥晶日H甲■182§9.7粗糙集与模糊集的比较■■185第十章基于随机集的粗糙集模型187§0,1随机集容度泛函t87§10.2信任函数与似然函数…d幽··『看■备如▲■p甲甲4即申日■鲁自中■暴即l88§10.3基于随机集的粗糙集模型…T·「·■■『■■■■■■Lpd■b10.4近似算子与可能性测度………"…201第十一章不完备信息系统的粗糙集方法……*………………20811.]不完备信息系统忄·■曾■■■·◆I會■■P■冒■鲁會◆4l■§112近似集2078113决策表,决策规则和知识约简……208A11.4区分函数与约简的计算司甲甲■鲁甲甲■■■p211参考文献十個■■1幽"b■213记号表………………….223第一章粗糙集理论的基本概念粗糙集理论是一·种新的处理模糊和不确定性知识的数学工具,其主要思想就是在保持分类能力不变的前提下,通过知识约简,导出问题的决策或分类规则.目前,粗集理论已被成功地应用于机器学习、决策分析、过程控制、模式识別与数据挖掘等领域.夲章介绍标准粗糙集理论( Pawlak粗糙集模型}的基本概念,作为后面各章节的基础§1.1知识与知识库投U≠是找们感兴趣的对象成的有限集合,称为论域任何子集X匚U称为U中的个概念或范畴.为规范化起见,我们认为空集也是一个概念,U中的任何概念族称关于U的抽象知识,简称知识本书上要是对在U上能形成划分的那些知识感兴趣.一个划分定义为:价=X1,X2,…,Xn1;XCU,X;≠x,X∩X=,对于i≠j,,1,2U上的族划分称为X于U的个知认库( knowledge base设R是U上的一个等价关系,U/R表示R的所有等价类(或者U上的分类构成的集合,x]R表示包含元素∈I的R等价类…个知识库就是个关系系统K=(UR),其中U为非空有限集,称为论域R是U上的一族等价关系若PCR,且P≠分,则∩P(P中所有等价关系的交集)也是一个等价关系,称为P上的不可区分〔 ndis nihility)关系,记为ind(P),且有n(P)REP这样,Und(P)(即等价关系ind(P)的所有等价美)表示与等价关系族P相关的知识,称为K中关于U的P基本知识(P基本集)为单起鬼,我们用U代替Und(P),ind(P)的等价类称为知识P的基本概念或基本范畴特别地,如果Q∈R,则称Q为K中关于U的Q初等知识,Q的等价类为知识R的Q初等概念或Q初等范畴事实上,P基本范畴是拥有知识P的论域的基本特性换句话说它们是知识的堪本模块同样,我们也可定义:当K=(,R)为一个知识库,ind(K)定义为K中第一章粗糙集埋论的基本概怠所有等价关系的族,记作ind(K)“ind(P)≠PR例1.1绘定一玩具积木的集合U={x1,x2,…,xg},并假设这些积木有不同的颜色(红、黄、蓝),形状(方,圆、三角},体积(小,大).因此,这些积木都可以用颜色形状体积这些知识来描述例如一块积木可以是红色、小而圆的,或黄色、人而方的等如果我们根据某属性描述这些积木的情况,就可以按颜色、形状、体积分类按颜色分类:17337蓝了5;6"一黄按形状分类圆方℃34丁·8角按体积分类大I5,2a换言之,我们定义三个等价关系(即属性):颜色R1,形状R2和体积R3,通过这些等价关系,可以得到下而三个等价类UR1=1{x1,x3,xy},{x25;吧U/R2=1x1,xs,x2,x6},x3,x4,x,!},夏/R3={x2,x7,x81,{x1,x3,x4,x,6这些等价类是由知识库K=(U,R1,R2,R3})中的初等概念(初等范畴)构成的基本范畴是初等范畴的交集构成的,例如下列集合3,x7}∩:x3,x4,3+74{∩{x256783y丁4;了它们分别为R1,R2}的基本范畴,即:红色三角形,蓝色方形,黄色三角形下列集合x3,x?C「x3,x4,x5,xs∩2,7x8={72,x1∩x,x;6∩2,x7,x8}={x2},5x69E845778f它们分别为{R12R2,R3的基本范畴,即红色大三角形,蓝色大方形,黄色大
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